Маклаков А. И., Серебренникова Т. А., Савинков А. В

ч. 1 ... ч. 2 ч. 3 ч. 4 ч. 5

Задача 4.

Прохождение газа через пористую перегородку в теплоизолированной трубе сопровождается расширением и изменением температуры газа (эффект Джоуля-Томпсона). Если до расширения газ считать ван-дер-ваальсовым, а после расширения – идеальным, то изменение температуры газа:

.

Получить это выражение и найти приращение T водорода и азота, если в начальном состоянии при T₁ = 300 К их молярный объем V₁ = 0,1 л/моль.

Анализ и решение. Как известно в эффекте Джоуля-Томпсона энтальпия H газа до (H₁) и после (H₂) расширения останется постоянной, т.е.

H₁ = H₂ или . (1)

Для простоты положим, что имеется 1 моль газа. Выразим в (1) U₁, p₁, U₂ и (p₂ · V₂) через известные величины.

Так как в состоянии «1» – газ реальный, то , а p₁ из уравнения (6.1) . В состоянии «2» газ подчиняется идеальным законам (газ сильно расширен, поэтому это предположение и физически обосновано), откуда и p₂V₂ = RT₂. Для простоты предположим, что C_V не зависит от температуры и для теплоемкостей справедлив закон Майера . Подставляя выражения для U₁, p₁, U₂ и (p₂ · V₂) в (1), получим:

или

. (2)

Заменим V₁ в третьем слагаемом (2), используя (6.1), а именно:

,

тогда:

или

,

откуда:

.

Подсчитаем T для водорода и азота, заменив C_p. Из предыдущих задач известно, что , тогда:

(3)

Из условий задачи V₁ = 0,1 л/моль. T₁ = 300 К, из таблиц известно, что для водорода γ = 1,41, a = 0,024 Па·м⁶/моль², b = 27·10⁶ м³/моль, для азота γ = 1,40, a = 0,137 Па·м⁶/моль², b = 39·10⁶ м³/моль. Подставляя эти значения в (3), получим для водорода T = 15 К, для азота T = –39 К, т.е. в результате расширения газа в эффекте Джоуля-Томпсона водород при комнатной температуре нагревается, а азот – охлаждается, что подтверждено экспериментально.

Задача 5.

Получить соотношения, связывающие критические параметры одного моля вещества.

Решение. Критическое состояние вещества описывается уравнением Ван-дер-Ваальса. Запишем его для одного моля через критические параметры:

. (1)

Заменим постоянные a и b через критические параметры, используя соотношения (6.4) , . Подставляя их в (1), получим:

(2)

Задача 6. (демонстрационный опыт по критическому состоянию).

В ампулу объемом V = 3 см³ наливается эфир (плотность ρ = 0,71 г/см³). Ампула запаивается и эфир нагревается до T_кр = 194˚С. Какой первоначальный объем V₀ должен занимать в ампуле эфир, чтобы при нагревании он перешел в критическое состояние. Критическое давление эфира ρ_кр = 35,5 атм.

Дано: V = 3 см³ = 3·10^-6 м³, ρ = 0,71 г/см³ = 7·10 кг/м³, T_кр = 194˚С = 467 К, p_кр =35,5 атм.

Определить: V₀.

Решение. Для перехода вещества при нагреве в критическое состояние необходимо, чтобы в ампуле при этом плотность эфира соответствовала критическому состоянию, т.е. ρ = ρ_кр.

По определению плотности, что справедливо и для критического состояния:

, (1)

где m – масса эфира в ампуле. Но m = ρ·V₀, а , тогда (1) будет иметь вид:

, (2)

где M – молярная масса эфира. Используя соотношение (2) предыдущей задачи, выразим через параметры p_кр, T_кр, данные в задаче, т.е. . Подставляя его в (2) данной задачи, получим:

.

Задача 7.

На какую величину возросло бы давление воды на стенки сосуда, если бы исчезли силы притяжения между ее молекулами?

Решение. При выводе уравнения Ван-дер-Ваальса было показано, что уменьшение давления на стенки сосуда за счет взаимного притяжения молекул равно , где V_M – мольный объем вещества, вне зависимости от его состояния. Поэтому, если бы исчезли силы притяжения между молекулами, то дополнительное давление, возникшее в результате этого, . Так как для воды a = 0,554 Па·м⁶/моль², (M – молярная масса, ρ – плотность), то:

.

(Особое внимание в этой задаче обратите на размерность входящих в формулу величин! Согласуйте их между собой! Следует отметить, что в задачах, где используется уравнение Ван-дер-Ваальса, постоянные a и b могут даваться в различных системах единиц, поэтому будьте внимательны при расчетах.)

7. ПРОЦЕССЫ СТОЛКНОВЕНИЙ В ГАЗАХ.
7.1. Основные понятия и формулы.
Средняя длина свободного пробега молекулы в газе:

, (7.1)

где d – «газокинетический» диаметр молекулы, n – их число в единице объема.

Число столкновений Z одной молекулы в единицу времени в единичном объеме:

, (7.2)

где – средняя скорость молекулы.

Доля молекул N/N₀, пролетающих путь x без столкновений:

(7.3)

N₀ – общее число молекул. Так как процесс столкновений случайный, то величина N/N₀ может трактоваться как вероятность p(x) того, что молекула проходит путь x (или время t) без столкновений, т.е.

(7.4)

τ – время между двумя столкновениями молекулы.

7.2. Примеры решения задач.

Задача 1.

Найти при нормальных условиях среднюю длину свободного пробега молекулы газа, для которого постоянная Ван-дер-Ваальса b = 40 см³/моль.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекулы рассчитывается по (7.1):

(1)

Неизвестными величинами здесь являются d и n. Для определения

d вспомним, что постоянная b есть:

, (2)

где V_мол – объем молекулы. В приближении сферической формы молекулы . Приравнивая объемы молекулы, взятые из этого соотношения и соотношения (2), получим:

.

Число частиц в единице объема n нужно определить из уравнения Ван-дер-Ваальса. Однако величина a неизвестна. Поэтому для оценки n будем считать, что газ подчиняется идеальным законам, откуда:

,

где p₀ = 1 атм, T₀ = 273 K.

Подставляя значения b и n в (1), получим:

.
Задача 2.

Вычислить число столкновений всех молекул воздуха в комнате объемом V = 100 м³ в обычных условиях за 1 секунду.

Решение. Воздух – это смесь молекул азота и кислорода. Однако вследствие близости размеров молекул N₂ и O₂ можно полагать, что это однородный газ с эффективной молекулярной массой M_эфф = 29 и эффективным диаметром молекулы d_эфф = 3,7 A (см. справочные таблицы). Число столкновений Z₁ одной молекулы в единицу времени в единичном объеме согласно (7.2) есть:

.

Для подсчета числа столкновений n молекул в единицу времени в единичном объеме нужно величину Z₁ умножить на n и разделить на 2. Деление необходимо, т.к. каждая молекула учитывается дважды: один раз как ударяющая, другой – как ударяемая. Число соударений в объеме V будет в V раз больше, чем в единичном объеме, т.е. искомое число соударений:

. (1)

Число молекул в единице объема ,

а

и .

Задача 3.

Вычислить вероятность того, что молекулы имеют длину свободного пробега, лежащую в интервале от до и число таких молекул в V = 1 л азота при нормальных условиях.

Решение. Вероятность того, что молекулы проходят путь без столкновения, согласно (7.4), есть:

.

Для получения элементарной вероятности того, что молекула проходит путь, лежащий в интервале (x, x+dx), без столкновений, продифференцируем это соотношение, т.е.:

.

Знак (–) нужно опустить, т.к. вероятности всегда положительны.

Тогда искомая вероятность есть:

.

Вероятность p₁₂ по определению может быть записана как

,

где N – общее число молекул в сосуде, N₁₂ – число молекул, имеющих длину свободного пробега, лежащую в интервале , откуда искомое число молекул:

N₁₂ = Np₁₂. (1)

Остается подсчитать величину N. По закону Авогадро при нормальных условиях один моль газа занимает объем V_M = 22,4 л. Тогда:

.

Подставляя это выражение в (1), получим:

.

Задача 4.

Идеальный газ совершает политропический процесс с показателем политропы n. Найти среднюю длину свободного пробега и число столкновений каждой молекулы ежесекундно как функцию объема V системы.

Решение. В задачах подобного рода не обращают внимание на коэффициенты пропорциональности, связывающие две величины и решают их с точностью до этих коэффициентов.

Длина свободного пробега , согласно (7.1), есть:

.

Зависимость от V может быть «скрыта» в зависимости n(V). Размер молекулы, конечно же, не зависит от V. Итак:

. (1)

Для идеального газа n = p/kT ~ p/T. Далее нужно выразить p и T через V. Учтем, что интересующий нас процесс политропический, который подчиняется уравнениям pVⁿ = const или TV^n-1 = const. Из первого выражения p ~ V^-n, из второго T ~ V^-(n-1).

Подставим найденные значения в (1):

или λ ~ V.

Ответим на вторую часть вопроса задачи. Число столкновений каждой молекулы в 1 секунду, согласно (7.2):

. (2)

Ясно, что зависимость Z(V) находится в зависимости n(V) и , остальные величины – постоянны. Как и ранее n = p/kT или n ~ pT^-1. Для политропического процесса, как было показано выше:

.

Средняя скорость молекулы:

или .

Из (2) с учетом имеющихся соотношений для n(V) и получаем:

.

Задача 5.

Найти молекулярную теплоемкость процесса, совершаемого идеальным газом, при котором число столкновений Z между молекулами во всем объеме газа V в единицу времени остается неизменным.

Анализ и решение. Закон, которому подчиняется процесс, происходящий в идеальном газе, в данной задаче достаточно прост: Z = const

Выражение для общего числа столкновений всех молекул в объеме V было получено в задаче 2 (соотношение (1)), а именно:

.

Т.к. d – постоянна, то уравнение интересующего нас процесса может быть переписано как:

(1)

Выразим n и через T и V системы. Средняя скорость молекулы , а число молекул в единице объема n = N/V, N – число молекул в системе. Подставим эти значения в (1):

.

Перенесем все постоянные, стоящие слева в правую часть.

Тогда:

.

Возведем его в квадрат и получим:

(2)

Но это уравнение политропического процесса с n = -1. В самом деле, уравнение политропы в координатах (T,V) есть T·V^n-1 = const. Сравнивая его с (2), видно, что n = –1.

Для политропического процесса молярная теплоемкость, согласно (4.2), есть:

.

При n = –1 она равна:

.
8. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА.
8.1. Основные понятия и формулы.
Коэффициенты переноса: самодиффузии D, вязкости η и теплопроводности χ связаны простыми соотношениями с молекулярными характеристиками и :

, , , (8.1)

где ρ – плотность газа,  – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

Плотность потока тепла q_T, т.е. количества тепловой энергии, протекающей через единицу площади поверхности в единицу времени, определяется законом Фурье:

. (8.2)

Плотность потока вещества q_m дается законом Фика:

. (8.3)

Плотность потока количества движения L, передаваемого в направлении, перпендикулярном скорости v_Z потока вещества, определяется законом Ньютона:

. (8.4)

Последнее соотношение часто записывают через силу трения F_тр, действующую на единицу площади поверхности, разделяющей два соседних слоя:

. (8.5)

В формулах (8.2)-(8.5) , , – градиенты температуры, концентрации и скорости v_Z вдоль оси x, соответственно.

Задачи на эту тему могут быть разделены на две группы:

1. 
   задачи, где нужно уметь «работать» с коэффициентами переноса (соотношения (8.1));
   
2. 
   задачи, где подсчитываются потоки вещества, тепла и количества движения или находятся распределения C и T в системе с помощью соотношений (8.2-8.5).
   

8.2. Примеры решения задач

Задача 1.

Идеальный газ состоит из двухатомных молекул. Во сколько раз изменится коэффициент самодиффузии D, если объем газа адиабатически уменьшить в m раз.

Анализ и решение. Выражение для коэффициента самодиффузии (КСД) из (8.1):

. (1)

Так как по условию задачи требуется определить, как изменится D при изменении объема V, выразим входящие в (1) величины через V учтя, что процесс адиабатический, который описывается уравнениями:

pV^γ=const или TV^γ-1 = const (2)

Итак,

,

а .

Поскольку в задаче требуется определить отношение двух КСД, постоянные величины, входящие в выражения для и и не зависящие от V можно отбросить, т.е. записать, что

, .

Из (2) видно, что , поэтому .

Число молекул в единице объема:

.

Выразим p и T через V, используя (2). Тогда , следовательно . Подставляя полученные выражения для и в (1), получим:

.

Для двухатомного газа , поэтому D ~ V^4/5.

Тогда:

D₂/D₁=(V₂/V₁)^4/5 = m^-4/5 = 1/6,3,

т.е. КСД уменьшится в 6,3 раза.

Задача 2.

Теплопроводность гелия при нормальных условиях в 8,7 раза больше, чем у аргона. Найти отношение диаметров атомов аргона и гелия.

Решение. Запишем теплопроводность, согласно (8.1):

(1)

Как и в предыдущей задаче, запишем входящие в (1) величины только через параметры, зависящие от природы веществ He и Ar, т.к. внешние условия для них одинаковы:

,

,

,

.

Молярные теплоемкости для одноатомных газов He и Ar, одинаковы, однако, входящая в знаменатель молярная масса M ~ m, поэтому .

Подставляя найденные величины в (1), получим:

χ ~ m^-1/2·d^-2·n^-1·m·n·m^-1 ~ m^-1/2·d^-2,

откуда диаметр молекул:

d ~ (m^1/4 · χ ^1/2)^-1.

Записав такие выражения для He и Ar, получим:

.
Задача 3.

Кубик сделан из четырех чередующихся пластин двух типов разной толщины и теплопроводности. Толщина пластин одного типа b₁, теплопроводность – χ₁, второго типа b₂ и χ₂, соответственно. Найти теплопроводность кубика вдоль (χ_║) и перпендикулярно (χ) пластинам. Какая теплопроводность больше?

Анализ и решение. Из Рис. 8.1 видно, что длина стороны кубика l = 2b₁ + 2b₂ = 2(b₁ + b₂). Подсчитаем теплопроводность кубика вдоль пластин (χ_║), когда температура T₂ верхней грани больше температуры T₁ нижней, т.е. поток тепловой энергии направлен вниз. Согласно (8.2) поток тепла, передаваемый через первую пластинку в единицу времени:

,

– площадь поперечного сечения первой пластинки равная (b₁·l).

Аналогичное выражение можно записать и для второй пластинки

.

Тогда общий поток через кубик:

. (1)

С другой стороны, если рассматривать кубик как единое целое с теплопроводностью χ_║, то та же передаваемая тепловая энергия запишется:

. (2)

Сравнивая (1) и (2), получим:

.

Для расчета χположим, что разница температур (Т₂ –Т₁) приложена теперь к боковым граням кубика. Кроме того, введем дополнительные температуры на границах пластинок (рис. 8.1) T’, T’’, T’’’. В этом случае потоки через каждую пластинку и через кубик в целом одинаковы, т.е. .

С учетом (8.2) и того, что площади поперечных сечений каждой пластинки одинаковы, имеем:

.

В этой системе уравнений неизвестными являются T’, T’’ и T’’’, которые нужно выразить через (Т₂–Т₁), χ₁, χ₂, b₁, b₂. Для упрощения введем обозначения χ₁/b₁ = a₁, χ₂/b₂ = a₂, тогда:

. (3)

Будем последовательно «освобождаться» от T’’’, затем Т’’ и T’, выражая их через Т₁ и Т₂.

Возьмем третий и четвертый члены равенства (3):

a₁(T’’’– T’’) = a₂(T₂ – T’’’),

откуда:

T’’’= (a₂T₂ + a₁T’’)/(a₁ + a₂). (4)

Далее используем равенство второго и третьего членов в (3) и заменим T’’’ из (4). Путем несложных алгебраических преобразований получим:

T’’= [a₁T₂ + (a₁ + a₂)T’]/(2a₁ + a₂). (5)

Далее используем равенство первого и второго членов в (3). Заменив T’’ из (5) и выразив в T’ через Т₁ и Т₂, получим:

T’= [a₂T₂ + (2a₁ + a₂)T’]/2(a₁ + a₂). (6)

Затем, рассмотрим равенство первого и последнего членов (3), заменим Т выражением (6):

,

замена T’ дает:

.

Перейдя к величинам b₁ и b₂ с учетом введенных обозначений a₁ и a₂, получим окончательно:

.

Чтобы выяснить, какая величина больше (χили χ_║) предположим, что χ> χ_║ и подставим в это неравенство полученные значения χи χ_║. В результате преобразований нетрудно получить (χ₁ – χ₂)² < 0, что абсурдно, следовательно, χ< χ_║.

Задача 4.

В термос налита вода массы m = 1 кг. Внутренняя поверхность баллона термоса S = 700 см². Зазор между внутренним и внешним сосудами баллона a = 5 мм. Давление воздуха в зазоре p = 0,1 Па. Полагая, что отвод тепла от содержимого термоса осуществляется только за счет теплопроводности газа в зазоре, оценить время τ, за которое температура воды уменьшится от 90° до 80°С. Температура окружающей среды 20°С.

Дано: m₁ = 1 кг, S = 700 см² = 7·10^-2 м², a = 5 мм = 5·10^-3 м, p = 0,1 Па, Т₁ = 90°С, Т₂ = 80°С, Т₀ = 20°С.

Определить:

Анализ и решение. Обозначим изменение температуры воды при охлаждении T_в = T₁ – T₂ = 10°C. Чтобы произошло такое понижение температуры необходимо отнять у воды теплоту:

, (1)

где  – удельная теплоемкость воды. Эта теплота должна передаваться за счет теплопроводности газа в зазоре в окружающую среду. Поток тепла через поверхность S за время τ, согласно (8.2),

. (2)

При оценке величины τ можно полагать, что:

,

где T_m – средняя температура между T₁ и T₂,

т.е. .

Теплопроводность газа в обычных условиях, согласно (8.1),

. (3)

Однако по условию задачи газ в зазоре баллона откачан до p = 0,1 Па. В таких условиях величина и линейный размер зазора могут быть сравнимы по величине. Поэтому оценим величину . Согласно (7.1):

, (4)

где Т – температура газа в зазоре. Однако по условию задачи одна стенка баллона находится при T₀ = 20°С, другая (в среднем) при T_m = 85°С. Поэтому для оценки за T нужно взять среднюю между T₀ и T_m температуру . (Заметим, если вместо взять T₀ или T_m, то большой ошибки при оценке не будет). Подставляя значения , d и p в (4), получим, что , т.е. , следовательно, выполняется условие ультраразреженности газа.

В этом случае в (3) длину свободного пробега заменяют линейным размером сосуда, в котором находится газ, т.е. .

Тогда:

,

а (2) будет:

. (5)

Входящие в (5) величины:

,

,

,

для воздуха:

,

.

Подставляя эти величины в (5), получим:

(6)

Приравнивая (1) и (6), найдем:

.

Задача 5 (демонстрационный эксперимент).

Горизонтально расположенный диск радиуса R = 0,2 м подвешен на нити над таким же укрепленным на вертикальной оси диском. Коэффициент кручения нити (отношение приложенного вращающего момента сил М к углу закручивания α) χ = 3,62·10^-4 Н.м/рад. Зазор между дисками a = 5 мм. На какой угол α закрутится нить, если нижний диск привести во вращение с угловой скоростью ω = 20 рад/с?

Дано: R = 0,2 м, M/α = χ = 3,62·10^-4 Н.м/рад, a = 5 мм = 5·10^-3 м, ω = 20 рад/с.

Определить: α.

Анализ и решение. Воздух, прилегающий к нижнему крутящемуся диску, обладает скоростью самого диска, воздух же, прилегающий к верхнему диску имеет скорость почти равную нулю. Таким образом, в зазоре между дисками имеется градиент линейных скоростей, направленных параллельно плоскости дисков. Однако их величины зависят от r. Поэтому удобнее выразить линейную скорость воздуха v через угловую ω, которая одинакова для всех точек диска, т.е. v = ω · r.

Из условий задачи следует, что угол поворота (α) диска α = M/χ. Определим величину M. Для этого выделим на диске кольцо радиуса r и шириной dr (Рис. 8.2). Подсчитаем элементарный момент силы dM = r·dF, действующей на это кольцо со стороны вращающегося диска. Сила, действующая на единицу площади поверхности, разделяющей слои газа:

,

а элементарная сила, действующая на малую площадь поверхности кольца dS = 2πr·dr, может быть записана:

.

Так как v = ωr, то градиент , а элементарный момент силы, действующей на все кольцо,

dM = -2πr·η·r·ωr·dr/a = 2π·η·ω·r³·dr/a.

Полный крутящий момент сил получим интегрируя это выражение:

.

Так как нас интересует только величина M знак «минус» опущен. Тогда угол:

.

ч. 1 ... ч. 2 ч. 3 ч. 4 ч. 5