Решение задач должно быть оформлено на листах чертежной бумаги формата

ч. 1 ч. 2 ч. 3 ч. 4
Введение

Практическая часть курса начертательной геометрии при заочной форме обучения состоит из контрольных работ. В каждой контрольной работе необходимо выполнить несколько задач. Последовательность задач и контрольных работ подобрана в соответствии с методической последовательностью изучения курса начертательной геометрии.

Варианты индивидуальных заданий каждой задачи представлены в таблицах приложения, в конце первой части пособия представлен список рекомендуемой литературы для самостоятельного изучения курса начертательной геометрии и использованной для составления настоящего пособия.

Решение задач должно быть оформлено на листах чертежной бумаги формата А3(297х420) в соответствии со Стандартами ЕСКД (ГОСТ 2.301-ГОСТ 2.304-81) [1, 3]. Контуры геометрических элементов на проекциях обводят сплошной основной линией (ГОСТ 2.303-68), невидимые контуры проводят штриховой линией, оси вращения поверхностей вращения и центровые линии на окружностях проводят штрихпунктирными линиями, вспомогательные линии - оси проекций, линии проекционной связи, выносные и размерные линии, линии штриховки проводятся тонкой сплошной линией.

Варианты задания определяются суммой трех последних чисел шифра, например, студент, имеющий шифр ШС-99223, выполняет задание седьмого варианта (2+2+3=7).

Стyдeнты, обучающиеся по направлению 150400 "Технологические машины и оборудование", имеющие шифр специальности ГМК, ГРМ, ГЭМ, АСГ, выполняют в первом семестре все три контрольные работы.

Студенты, обучающиеся по направлению 130400 -"Горное дело" (ПРМ, ШС, МД, ОГР, ОПИ), выполняют в первом семестре контрольные работы №1 и №2.

В методических рекомендациях по решению задач даны сноски на литературу, например, [4], с. 42, рис. 2.38, рис. 2.39,   этот вопрос можно изучить по литературе [4] (см. список рекомендуемой литературы) на странице 42 рис. 2.38 и рис. 2.39. При решении задач настоятельно рекомендуется использовать учебник [2] параллельно с учебным пособием [4].

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Контрольная работа №1 содержит четыре задачи. Работа оформляется на трех листах формата АЗ.

ЛИСТ 1

Задача 1. Определить линию пересечения плоских фигур, видимость их на плоскостях проекций и натуральную величину треугольника АВС. 1

Решение. На левой стороне формата АЗ проводятся тонкими линиями оси проекций (рис. 1) и по данным варианта из таблицы 1 приложения (с. 31) по координатам строятся вершины треугольников, тонкими линиями   проекции треугольников АВС и F.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Чтобы ее построить на чертеже, нужно иметь две общие точки заданных треугольников. Общие точки плоскостей определяются решением задачи пересечения прямой линии с плоскостью ([4], с. 54, рис. 66, рис. 67)1. В задаче I рекомендуется выполнить очень четко всю последовательность операций построения линии пересечения плоских фигур и определения видимости на проекциях.

Алгоритм решения задачи 1:

1. Определяется точка пересечения стороны АВ с плоскостью DEF (см. рис. 1).

1.1. Через прямую АВ проводится горизонтально-проецирующая плоскость  (на рис. 1 плоскость задается горизонтальным следом H).

1.2. Плоскость  пересекает плоскость треугольника DEF по прямой 1-2, на чертеже строят ее проекции.

1.3. Прямая 1-2 пересекает АВ в точке N (N', N") -это одна общая точка заданных плоскостей.

2. Определяется точка пересечения стороны DF с плоскостью АВС (примечание: вторая общая точка плоскостей может быть определена пересечением стороны АС с плоскостью АВС, то есть эта задача имеет единственное решение, которое может быть достигнуто различными путями). Через DF проводится вспомогательная плоскость β (на рис. 1 βV   фронтальный след фронтально-проецирующей вспомогательной плоскости β), и все операции пункта 1 повторяются, в результате получится точка М(М', М"). Плоские фигуры АВС и DEF пересекаются по прямой MN.

3. Видимость плоских фигур на проекциях определяется методом «конкурирующих» точек.

3.1. Видимость на фронтальной плоскости проекций определяет пара конкурирующих по видимости точек 5 и 6. Фронтальные проекции точек совпадают (5"=6"), то есть точки 5 и 6 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном фронтальной плоскости проекций. Горизонтальные проекции 5' и 6' расположены на одной линии проекционной связи, стрелкой показано направление взгляда на фронтальную проекцию, отсюда видно, что точка 6 расположена к наблюдателю ближе, следовательно, она на фронтальной плоскости проекций будет видна; также будет видна в этой области и прямая АC, на которой лежит точка 6. Проекция А"С" на фронтальной плоскости проекций будет видна на чертеже полностью. Участок 7"5" стороны ЕF на фронтальной проекции будет невидимым. Аналогично определяется видимость остальных элементов на фронтальной проекции.

3.2. Видимость на горизонтальной плоскости проекций можно опре­делить с помощью одной из шести пар конкурирующих точек, используем пару 8,9. Точка 8 лежит на ВС (8"  В"С"), а точка 9 - на EF ( (9" Е"F"), фронтальная проекция 8" на чертеже расположена выше, чем 9", а это значит, что на горизонтальной проекции В'С' будет полностью видимая. F'D' от контура В'С' до М' (точки пересечения FD с треугольником АВС) будет невидимой, от М' до D' сторона FD на горизонтальной проекции видимая. Рассуждая таким образом можно определить видимость остальных элементов на горизонтальной плоскости проекций. Если MD видима, то участок проекции А'С' невидим. Невидимым будет также участок 1'N', а N'B' на чертеже – видимый.

Рис. 1

4. Натуральная величина треугольника АВС определяется методом вращения (см. [4], 7.1.2 с. 75, рис. 93) по схеме: треугольник АВС общего положения методом плоскопараллельного перемещения преобразуется во фронтально-проецирующую плоскость A1B1C1, затем треугольник A1B1C1 методом вращения вокруг проецирующей прямой, проходящей через точку Вl, и перпендикулярно V, преобразуется в горизонтальную плоскость B1C2A2. горизонтальная проекция которого определяет натуральную величину A2'B1'C2' треугольника АВС.

4.1. Чтобы преобразовать треугольник АВС общего положения во фронтально-проецирующую плоскость, нужно воспользоваться свойcтвoм горизонтали: во фронтaльно-проецирующей плоскости она является фронтально-проецирующей прямой. В плоскости АВС проводится горизонталь С-5, треугольник перемещается в пространстве параллельно плоскости Н, так, чтобы С-5 стала перпендикулярной фронтальной плоскости проекций. Сl'-5l' на чертеже нужно расположить вертикально. |Сl'-5l'| = |С'-5'| и |A1'B1'C1'|=|A'B'C'|   из условия параллельности перемещения треугольника АВС относительно горизонтальной плоскости проекций. Проекция A1'B1'C1' строится методом засечек относительно вертикально расположенной горизонтальной проекции горизонтали Сl'-5l'. При этом преобразовании фронтальные проекции А", В", С" на чертеже перемещаются по горизонтальным прямым, линии проекционной связи A1', B1',C1' на этих прямых определяют фронтальные проекции A1'', B1'', C1'', лежащие на одной прямой.

4.2. Фронтально-проецирующая плоскость A1B1C1 прео6разуется горизонтальную плоскость B1A2C2, горизонтальная проекция которой B1'A2'C2' определяет натyральную величину треугольника ABC. Это преобразование - вращение вокруг фронтально-проецирующей прямой, проходящей через точку В1.
ЛИСТ 2

Задача 2. Постpоить проекции пирамиды с основанием АВС, ребро пирамиды SA является высотой пирамиды, величина которой задана в условии варианта.

Решение. На левой половине листа формата АЗ тонкими линиями проводятся оси проекций ОХУZ . По координатам из таблицы 2 приложения строятся на чертеже проекции А'В'С' и А"В"С" основания пирамиды. Из точки А проводится перпендикуляр к основанию АВС пирамиды ([4], 5.3. с. 58, рис. 70). Проекции перпендикуляра составляют прямой плоский угол соответственно с горизонтальной проекцией горизонтали и с фронтальной проекцией фронтали.

В треугольнике АВС (рис. 2) проводится горизонталь С 1, горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости АВС проводится под прямым углом к С'-I' через А'. Фронтальная проекция 1" 2" фронтали 1-2 определяет направление фронтальной проекции перпендикуляра, она проводится через точку А" под прямым углом к 1"-2".

На проекциях построенного перпендикуляра берется произвольная точка Т (Т', Т") и определяется натуральная величина отрезка АТ, на рис. 2 отрезок А"T1". На прямой А"T1" откладывается натуральная величина высоты пирамиды AS, заданной в таблице 2 приложения, и обратным преобразованием строятся проекции вершины пирамиды S', S". Вершина S соединяется с вершинами основания боковыми ребрами SA, SB, SC, определяется видимость ребер пирамиды на проекциях.

Задача 3. Построить две проекции геометрических тел – прямой призмы и пирамиды, линию пересечения их поверхностей и определить видимость на проекциях.

Решенuе. На правой стороне листа 2 (см. рис. 2) по координатам строятся проекции призмы EKGU (ребра обозначены вершинами нижнего основания) и пирамидьr АВСD.

Общая схема решения:

1) определяются точки пересечения ребер пирамиды ABCD с гранями призмы EKGU;.

2) определяются точки пересечения ребер призмы EKGU с гранями пирамиды АВСD;

3) полученные точки соединяются отрезками прямых с учетом видимости на проекциях. Полученная ломаная линия должна быть замкнyтой ([4], с. 88, рис. 4.12).


Ребро DA пересекается с гранями UG и (см. рис. 2) в точках I и 4, на чертеже строятся их nроекции. Аналогично строятся проекции точек пересечения ребра DС с гранями GU и и ребра DE с гранями UG и ЕК призмы.

Ребро Е призмы пересекается с гранями ABD и ВСD пирамиды в точках 6 и 8, фронтальные проекции которых строятся по условию принадлежности точек 6 и 8 соответствующим граням пирамиды. Точка 6 лежит в плоскости грани BCD, так как она лежит на прямой SD в грани ВСD, точка 8 - на прямой ТD в грани ABD.

Полученные точки соединяются ломаной линией, в данном примере получаются две замкнутые ломаные линии пересечения поверхностей. Линия 1-2-3 на фронтальной плоскости проекций имеет видимые отрезки 1" 3" и 3"-2", поскольку они расположены на двух видимых на фронтальной плоскости проекций гранях, сторона 1"-2" лежит на невидимой грани АВD, поэтому она проводится штриховой линией. Путем аналогичных рассуждений определяется, что отрезки 5" 4" и 5" 6" на фронтальной плоскости проекций видимы, остальные отрезки невидимы.

ЛИСТ 3

Задача 4. Построить развepтки поверхностей прямой призмы и пирамиды (данные в задаче 3) и нанести на ней линию пересечения поверхностей.

Решение. Развертка поверхности пирамиды строится методом триангyляции ([4], 8.3, с. 90, рис. 108, рис. 109). Для построения развертки нужно построить натypальные величины всех ребер пирамиды, для этого рекомендуется на отдельном листе бумаги (без оформления) построить по координатам фронтальную и горизонтальную проекции пирамиды ABCD и любым методом графически определить натуральные величины всех ребер. На плоскости чертежа по трем сторонам (натуральным величинам) строится грань АВС, к ней пристраивается ABD, затем BDC и т. д. (рис. 3).

Ломаная линия пересечения многогранников на развертке строится методом координатной разметки (см. рис. 3).


Развертка поверхности призмы строится методом раскатки.. Нанесение линии пересечения многогранников на развертку призмы рекомендуется выполнять методом координатной развертки. Например, на ребре GU отмечаются точки 2, 1, 3, и от них вертикально вверх откладываются координаты Z точек 2, 1, 3, которые берутся на фронтальной проекции в задаче 3. Аналогично строятся остальные вершины ломаной линии.


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Контрольная работа №2 состоит из трех листов, на которых выполняются задачи 5, 6, 7, 8, 9.

ЛИСТ 4

Задача 5. Построить в плоскости общего положения АВС проекции окружности заданного радиуса R с центром в точке А. Данные для своего варианта взять из таблицы 4 приложения. Пример выполнения задачи дан на рис. 4.

Решение. В левой части листа формата А3 строятся оси координат, и по данным варианта строятся проекции отрезков АВ и АС, определяющих плоскость окружности, которая в проекциях будет изображаться в виде эллипсов. Из точки А' и А'' на горизонтальной и фронтальной проекциях соответственно проводятся тонкой линией окружности заданного радиуса R. Эта окружность на горизонтальной проекции горизонтали заданной плоскости А'С' определяет большую ось эллипса (1'-2') горизонтальной проекции окружности, с помощью проекционной связи строится фронтальная проекция 1" -2" на проекции А" -С". Таким же образом строится большая ось эллипса на фронтальной плоскости проекций 3"-4" на фронтальной проекции фронтали А"- В" и ее горизонтальная проекция 3'­4' на А'-В'.

Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси, она проводится через А' под прямым углом к 1'-2'. Чтобы построить малую полуось, нужно воспользоваться следующим приемом. Через 3' проводится перпендикулярно большой оси полухорда эллипса 3'-5' и полухорда окружности 6' -5', которая циркулем откладывается на большой оси и дает на ней точку 7'. Точка 7' соединяется с 3'. Из точки 2' проводится прямая 2'-8' параллельно 7'-3' до пересечения с направлением малой оси, отрезок А'-8' является малой полуосью эллипса, радиусом А'-8' проводится тонкой линией окружность. Промежуточные точки кривой строятся по схеме:

1) проводится из точки А' радиальная линия, пересекающая окружность на малой оси эллипса в точке D' и окружность на большой оси эллипса в точке Е';

2) проводится D'K' параллельно большой оси эллипса и Е'К' параллельно малой оси эллипса, эти отрезки пересекаются в точке К', лежащей на эллипсе. Несложно построить три точки, симметричные К относительно большой и малой оси эллипса и его центpa. Для более точного построения эллипса можно увеличить число точек К.

Аналогичные построения на фронтальной проекции приведут к построению фронтальной проекции данной окружности, то есть эллипса.

Задача 6. Построить три проекции шара со сквозным призматическим отверстием. Радиус шара и точки А, В, С, D определяются в таблице 5 приложения в соответствии с вариантом.

Peшение. На правой чаcти листа (см. рис. 4) строятся оси координат OXYZ и три проекции шара с центром в точке О, на фронтальной проекции шара строится вырожденная проекция призматического выреза, определяемого точками А, В, С, D. Призматический вырез образуется rpанями BC и АD, через которые проведены горизонтальные плоскости  и β, грань CD выреза является профильной плоскостью , и грань АВ   фронтально-проецирующая плоскость. Любая плоскость пересекает поверхность сферы по окружности. плоскости  и β пересекают сферу по окружностям, которые на горизонтальной проекции отображаются в натуральную величину, на этих окружностях отмечаются точки В', С' и D'. Горизонтальная проекция грани выреза ограничивается контуром В' С' C' В', стороны В' В' и С' C' невидимы. Нижняя грань выреза (в плоскости β) огpаничивается сегментом с хордой DD'. Плоскость  проходит через грань C-D, пересекает сферу по окружности радиуса О3'G', горизонтальная и фронтальная проекции этой грани   прямые линии, а профильная проекция - часть круга в контурах С"' С"' D'" D"'.

Плоскость пересекает сферу по окружности, а грань выреза образуется частью кpyгa, ограниченного хордой В-В. Фронтальная проекция этой грани вырождена в прямую линию, горизонтальная и профильная проекции этой грани имеют контур эллипса с хордой В'-В' и B'" B'" соответственно.



Окружность лежащая в плоскости  проецируется на горизонтальную и профильную плоскости проекций в виде эллипсов, которые строятся по точкам, например: точки В эллипса лежат на повepxнocти сферы на окружности радиуса Ol"-E".

Горизонтальные проекции В'В' отмечаются на горизонтальной проекции этой окружности. Точки K' и K1' ‘эллипса лежат на поверхности сферы и на окружности радиуса О4-1, то есть точки эллипсов на горизонтальной и профильной проекциях строятся по признаку принадлежности их поверхности сферы.


ЛИСТ 5

На листе 5 выполняются две задачи, в левой половине листа   задача 7, в правой - задача 8.



Задача 7. Построить фиrypу сечения прямого кpyгового конуса плоскостью общего положения ABC Данные по вариантам содержатся в таблице 6 Приложения.

Решение. По данным варианта cтpоятся проекции прямого кругового конуса с центром основания в точке К (рис. 5). По координатам строится секущая плocкocть АВС.

Для решения задачи используется метод перемены плоскостей проекций ([4], 7.2.1 c. 80). Это преобразование приводит задачу к простейшему виду - сечение конуса проецирующей плоскостью. В секущей плоскости ABC выделяется горизонталь АВ и под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали А'В' проводится ось проекций x1, определяющая новую систему плоскостей npoекций H/V1, в которой секущая плоскостъ АВС становится проецирующей (см. рис. 5). Преобразование чертeжa производится по cxемe, изложенной в ([4], 7.2.1., с. 82 рис.99).

Положение секущей плоскости на V1 определяет характер фиrypы сечения. На рис. 5 секущая плоскость пересекает все образующие и не перпендикулярна оси вращения кoнyca, в этом случае в сечении конуса получится плоская фигура, ограниченная эллипсом.

Проекции фигypы сечения рекомендуется строить с использованием свойства принадлежности точки поверхности конуса.



Пример. Точки 3 и 4 лежат на поверхности конуса и в секущей плоскости , проекции 31" и 41" взяты произвольно, они лежат на параллели радиуса R1". строится горизонтальная проекция этой параллели, и на ней отмечаются проекции 3' и 4'. Проводятся линии связи в системе V/Н, и с помощью инварианта преобразования z3-4 cтpоятся фронтальные проекции 3" и 4". Построив таким образом достаточное количество точек на линии сечения поверхности конуса, их можно соединить плавной кривой линией на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций. Определить видимость кривой на фронтальной проекции. Фигуру сечения на проекциях выделить штриховкой, как показано на рис. 5.

Задача 8. Поcтpоить линию пересечения поверхностей прямого круговoгo конуса и цилиндра, определить видимость кривой на чертеже.

Построение чертежа.

На правой стороне формата АЗ строится ось проекций х. По координатам (см. таблица 7 приложения) строится точка К - центр окружности основания конуса, радиус окружности R, высота конуса h. Ось вращения цилиндра перпендикулярна фронтальной плоскости проекций и проходит через точку Е (координаты в таблице 7 приложения), радиус основания цилиндра RI,' Длина образующей цилиндра берется произвольно, несколько больше диаметра основания конуса.

Решение. Порядок решения задач на взаимное пересечение поверхностей вращения изучить по [4], 9.1, с. 107. Конкретная задача 8 (см. рис. 5) может быть решена по следующей схеме:

1) строятся характерные точки кривой линии пересечения конуса и цилиндра. Точки 1 и 6 пересечения крайней образующей конуса с очерком цилиндра, две точки 5 пересечения нижней образующей цилиндра с окружностью основания :конуса, две точки 3 пересечения левой крайней образующей цилиндра с параллелью конуса, лежащей в горизонтальной плоскоcти а (на рис. 5 эта




плоскость обозначена фронтальным следом V). Точки 3 определяют видимостъ: кривой линии на горизонтальной плоскости проекций;

2) Строится множество промeжyточныx точек кривой линии по схеме пocтpоения точек 3, 4 и 2 (см. рис. 5). Фронтальная проекция кривой линии пересечения поверхноcтeй конуса и цилиндра совпадает с вырожденной проекцией цилиндра и ограничивается дугой 1"-3"-6".

На дуге можно взять произвольную пару точек, например 4"=4". Эти точки лежат на поверхности конуса на параллели радиуса Rl" (расстояние от оси вращения конуса до крайней образующей). Горизонтальные проекции 4'   4' лежат на горизонтальной проекции параллели - окружности радиуса Rl'. По этой схеме можно построить множество проекций промeжyточныx точек кривой;

3) построенные точки соединяются плавными кривыми линиями с учетом видимости на проекциях. Фронтальная проекция кривой, как отмечалось выше, изображается дугой окружноcти l"-З"-6". Горизонтальная проекция кривой состоит из видимой части 3'-2'-1'-2'-3' и невидимой 1 - 3' - 4' - 6'. Видимость горизонтальной проекции кривой определяется точками 3 - это хорошо видно на фронтaльнoй проeкции, участок кривой 3"-2"-1" расположен на верхней (видимой на горизонтальной проекции) поверхности цилиндра, остальная часть кривой 3' -4' -6' расположена на нижней (невидимой на горизонтальной плоскости проекций) поверхности цилиндра.

ЛИСТ 6

Задача 9. Построить развертки поверхностей конуса и цилиндра с нанесением на них линий пересечения. Данные для построений берутся в задаче 8 (см. рис. 5).

Решение. Для построения разверток поверхностей рекомендуется сдeлaть копию решенной задачи 8. Развертки обеих поверхностей разместить на одном листе формата A3~ как показано на рис. 6.


Боковая поверхноcть цилиндра раскатывается на плоскость цилиндра в виде прямоугольника, стороны которого определяются образующей (вертикальная сторона) и разверткой окружности основания 2R (R - радиус основания цилиндра). Сверху и снизу к полученному прямоугольнику пристраиваются основания цилиндра.

Линия пересечения поверхностей стpоится методом координатной разметки. На средней вертикальной линии развертки боковой поверхноcти цилиндра строятся точки 5 (см. рис. 6). Удаление этих точек от горизонтальных краев развертки берется на горизонтальной проекции цилиндра на рис. 5.

Строится образующая, на которой располагаются точки 4. Для этого нужно дyгy 5"-4" (см. рис. 5) развернyть на прямую линию вправо от образующей, несущей точки 5. Для постpоения рекомендуется относительно точный и не очень трудоемкий прием: дyгy 5"   4" (см. рис. 5) нужно аппроксимировать ломаной линией с хордами длиной 2-3- мм с помощью циркуля измерителя. Например, на дуге 5"-4" откладывается пять хорд длиной 2 мм, сумму этих хорд нужно отложить вправо от образующей, несущей точки 5, и провести образующую, на которой расположены точки 4. Точки 4 на образующей строятся по координатам у с гoризонтальной проекции задачи 8. Таким образом, на развертке строится множество образующих и точки кривой, лежащие на них. Построенные точки соединяются плавной кривой линией.

Развертка поверхности конуса строится методом раскатки. Боковая поверхность конуса развертывается в виде сектора с центральным углом =R/L360, где R - радиус основания конуса, L - образующая конуса. Радиус сектора развертки paвен L - образующей конуса. Точки линии пересечения поверхностей на развертке cтpоятся с помощью образующих конуса. На биссектрисе угла сектора (ОА) строятся точки 1 и 6, натуральная величина отрезков S" -1" и S" -6" берется нa фронтальной проекции (см. рис. 5). Точки 4 и 2 лежат на образующих S-B и S-C, которые вместе с SA делят сектор развертки на четыре равные части. На S-B и S-C откладываются натуральные величины S"-21" и S"-41" отрезков S-2 и S-4 соответственно. Для построения точки 3 на развертке строится образующая SD. Дуга окружности основания B'D' аппроксимируется ломаной линией с хордами длиной 2-3 мм (см. рис. 5), такое же количество хорд откладывается на дуге сектора, определяя точку D на развертке. На образующей SD строятся точки 3 (S"-31" определяет натypальную величину S"-3", см. рис. 5). Таким образом строится достаточное множество точек, чтобы провести плавную, гладкую кривую линию пересечения конуса и цилиндра на развертке конуса.


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №З

Контрольная работа №3 выполняется на двух листах формата АЗ.


ЛИСТ 7
Задача 10. Построить линию пересечения цилиндра вращения (ось перпендикулярна фронтальной плоскости проекций) с поверхностью тора. Данные для варианта задания содержатся в таблице 8 приложения. Пример выполнения на рис. 7.

Решение. В тонких линиях строятся проекции тора и цилиндра.

Фронтальная проекция линии пересечения тора и цилиндра отображается в виде окружности, поскольку поверхность цилиндра является фронтально-проецирующей. Для построения горизонтальной проекции кривой используется свойство принадлежности точек поверхности тора. Taк, точка 1 лежит на поверхности тора на его экваторе, 1" – точка касания экватора тора и поверхности цилиндра, l' - отмечается на горизонтальной проекции экватора. Точки 2, 3, 4, 5 расположены на двух параллелях тора, симметрично расположенных относительно плоскости экватора, горизонтальные проекции 2', 3', 4', 5' отмечаются с помощью проекционной связи на горизонтальных проекциях параллелей. При решении этих задач построения рекомендуется проводить последовательно, избегая поточного метода, т. е., провели пару параллелей на фронтальной и на горизонтальной проекциях, отметили на них точки 2, 3, 4, 5, только после этого проводят следующую пару параллелей на поверхности тора. Горизонтальная проекция кривой имeeт достаточно сложную форму, видимость на горизонтальной проекции определяeтся точками 4, 5 и 6, 7, участок кривой 1-4, 1-5, 1-6 и 1-7 на горизонтальной плоскости проекций видимый, остальная часть кривой невидимая и изображается штpиховой линией.



Задача 11. Определить линию пересечения поверхностей прямого кругового цилиндра с эллиптическим наклонным конусом, параллелями которого являются окружности.


Решение. По данным таблицы 9 строится в тонких линиях исходный чертеж. Фронтальная проекция кривой линии пересечения поверхностей, как и в задаче 10, отображается в виде дуги окружности, поскольку поверхнocть цилиндра фронтально-проецирующая (см. рис. 7). Горизонтальная проекция кривой может быть построена по методу вспомогательных секущих плоскостей. В данной задаче можно использовать горизонтальные секущие плоскости, область применения плоскостей ограничивается плоскостями 1V и nV. Плоскость 1V, касательная r поверхности цилиндра, проходит через его верхнюю образующую и пересекает конус по окружности радиуса RI с центром в точке О1. Горизонтальная проекция окружности с центром в О1 определяет проекции точек 1 и 2 на горизонтальной проекции верхней образующей цилиндра. Плоскость 2V проведена через правую крайнюю образующую цилиндра   так же как 1V, она дает пару точек 3 и 4, определяющих видимость на горизонтальной плoскости проекций. Количество точек кривой (и соответственно вспомогательных секущих плоскостей) должно обеспечить точное построение кривой линии. Проекция кривой линии должна бытъ плавной и гладкой, без точек излома, толщина ее равна толщине обводки видимых контуров пересекающихся плоскоcтей. Кривая линия вписывается в контуры проекций пересекающихся поверхностей. Нужно обратить внимание на построение точек касания кривой крайних образующих и очерковых кривых поверхностей.

ЛИСТ 8


Задача 12. Построить две проекции поверхностей закрытого тора и цилиндра и линию их пересечения.

Решенuе. Строится исходный чертеж по данным таблицы 10 приложения в левой части листа формата А3 (рис. 8). Пересекающиеся поверхности расположены таким образом, что задача удовлетворяет условиям применения метода сферических концентрических секущих вспомогательных поверхностей, а именно:

1) пересекающиеся поверхности   поверхности вращения;

2) оси вращения поверхностей пересекаются;

3) оси вращения поверхностей параллельны фронтальной плоскости проекций.

Решение задачи начинается с построения характерных точек - в данной задаче точки 1 и 2 пересечения очерка тора и крайних образующих цилиндра.

Опредeляется область проведения вспомогательных сфер. Минимальная сфера определяется как сфера, вписанная в большее из тел. Радиусом минимальной сферы является нормаль, опущенная из центра сфер О на крайнюю образующую или очерк. В данном случае нормаль к очерку тора больше нормали к образующей - цилиндра, следовательно, минимальной сферой будет сфера, вписанная в поверхность тора. Максимальная сфера определяется радиусом, равным расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной характерной точки.

Минимальная сфера касается поверхности тора по окружности, вырождающейся на фронтальной проекции в прямую а", и пересекает поверхность цилиндра по окружности, вырождающейся на фронтальной проекции в прямую b". Эти две окружности, лежащие на поверхности сферы минимального радиуса, пересекаются в двух точках - 3" и 4", горизонтальные проекции их строятся по принадлежности поверхности тора. Они лежат на параллели а' и занимают положение 3' и 4'. Следующая сфера пересекает тор по двум окружностям, а цилиндр   по одной окружности. Эти окружности дают четыре общие точки данных поверхностей. Таким образом нужно построить достаточное множество точек, соединив которые, получают проекции линии пересечения заданных поверхностей. Видимость кривой линии на горизонтальной проекции определяют точки пересечения крайних образующих цилиндра с поверхностью тора.

Задача 13. Построить две проекции пересекающихся поверхностей кoнyca и части открытого тора, построить линию пересечения заданных поверхностей.

Решение. В правой половине листа 8 строится исходный чертеж по данным из таблицы 11 приложения. Эта задача не решается методом вспомогательных секущих плоскостей, и метод вспомогательных секущих концентрических сфер в этом случае неприменим. Простое решение задачи дает метод секущих эксцентрических сфер, с помощью которого можно построить множество промежуточных точек кривой линии. Решение задачи начинается с определения характерных точек 1 и 2, точки пересечения крайних образующих и экватора (очерка) тора.

Построение промежуточных точек ведется по следующей схеме (см. рис. 8):

1) через ось вращения тора (О") проводится фронтально проецирующая плоскость (V), эта меридиональная плоскость тора пересекает его поверхность по образующей окружности;

2) из центра меридиональной окружности О1" проводится нормаль к плоскости этой окружности (касательная к штрихпунктирной окружности центров меридианов) до пересечения с осью вращения конуса в точке О2";

3) из центра О2" проводится сфера через концы диаметра меридиональной окружности с центром О1";

4) проведенная сфера пересекает поверхность конуса по окружности, которая пересекает меридиональную окружность в точках 3"-31";

5) множество таких плоскостей проводится в интервале между характерными точками 1-2, и каждая дает пару общих точек пересекающихся поверхностей;

6) горизонтальные проекции точек кривой строятся по принадлежности поверхности конуса;

7) определяется видимость кривой на проекциях, в данном примере горизонтальная проекция кривой полностью невидима) поскольку лежит на невидимой сверху боковой поверхности конуса.
ПРИЛОЖЕНИЕ (11 таблиц)

Данные к задаче 1 (размеры и координаты)



таблица 1

Вариант

хА

yA

zA

xB

yB

zB

хC

yC

zC

хD

yD

zD

хЕ

yЕ

zE

хF

yF

zF

1

117

90

9

52

25

79

0

83

48

68

110

85

135

19

36

14

52

0

2

120

90

10

50

25

80

0

85

50

70

110

85

135

20

35

15

50

0

3

115

90

10

52

25

80

0

80

45

65

105

80

130

18

35

12

50

0

4

120

92

10

50

20

75

0

80

46

70

115

85

135

20

32

10

50

0

5

117

9

90

52

79

25

0

48

83

68

85

110

135

36

19

14

0

52

6

115

7

85

50

80

25

0

50

85

70

85

110

135

20

20

15

0

50

7

120

10

90

48

82

20

0

52

82

65

80

110

130

38

20

15

0

52

8

116

8

88

50

78

25

0

46

80

70

85

108

135

36

20

15

0

52

9

115

10

92

50

80

25

0

50

85

70

85

110

135

35

20

15

0

50

10

18

10

90

83

79

25

135

48

83

67

85

110

0

36

19

121

0

52

11

20

12

92

85

80

25

135

50

85

70

85

110

0

35

20

120

0

52

12

15

10

85

80

80

20

130

50

80

70

80

108

0

35

20

120

0

50

13

16

12

88

85

80

25

130

50

80

75

85

110

0

30

15

120

0

50

14

18

12

85

85

80

25

135

50

80

70

85

110

0

35

20

120

0

50

15

18

90

10

83

25

79

135

83

48

67

110

85

0

19

36

121

52

0

16

18

40

75

83

117

6

135

47

38

67

20

0

0

111

48

121

78

86

17

18

75

40

83

6

107

135

38

47

67

0

20

0

48

111

121

86

78

18

117

75

40

52

6

107

0

38

47

135

0

20

68

48

111

15

86

78

19

117

40

75

52

107

6

0

47

38

135

20

0

68

111

48

I5

78

86

20

120

38

75

50

108

5

0

45

40

135

20

0

70

110

50

15

80

85

21

122

40

75

50

110

8

0

50

40

140

20

0

70

110

50

20

80

85

22

20

40

10

85

110

80

135

48

48

70

20

85

0

110

35

120

80

0

23

20

10

40

85

80

110

135

48

48

70

85

20

0

35

110

120

0

80

24

117

40

9

52

111

79

0

47

48

68

20

85

135

111

36

14

78

0

25

117

9

40

52

79

111

0

48

47

68

85

20

135

36

111

14

0

78

26

18

40

9

83

111

79

135

47

48

67

20

85

0

111

36

36

78

0

27

18

9

40

83

79

111

135

48

47

67

85

20

0

36

111

121

0

78

ч. 1 ч. 2 ч. 3 ч. 4