Маклаков А. И., Серебренникова Т. А., Савинков А. В

ч. 1 ч. 2 ч. 3 ч. 4 ч. 5

Задача 7.

Моль идеального газа, теплоемкость которого известна, совершает процесс по закону , где α и р0 – постоянные. Найти: а) сообщенное газу тепло при расширении от V1 и V2; б) теплоемкость газа как функцию его объема V.

Дано: , V1 → V2, .

Определить: Q, CM = f(V).


Решение. а) Сообщенное газу тепло может быть определено из первого начала термодинамики:

(1)

Однако в (1) неизвестны оба слагаемые. Найдем сначала работу.

По определению:

. (2)

Внутренняя энергия, согласно (4.6), , а для интересующего процесса . Внутренняя энергия для начального состояния , для конечного , а ее изменение:



.

В полученном выражении неизвестным остается γ. Выразим его через известную : или .

Тогда:

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим:



.

б) Зависимость теплоемкости от объема получим из дифференциальной формы первого начала:



, но , ,

т.е.


. (4)

Так как , остается получить V как функцию Т.

Из уравнения состояния ,

откуда:


и ,

тогда:


, а

или


. (5)

Подставляя (5) в (4), получим:



.

Задача 8.

В процессе работы тепловой машины происходит сжатие гетерогенного рабочего тела, представляющего собой пену, состоящую из трансмиссионного масла с пенообразующими присадками и инертного газа аргона. В начале процесса сжатия кратность пены (отношение объема газа к объему жидкости в пене) равна k0 = 10.

а) Найти закон, по которому происходит сжатие газа в пене, если процесс сжатия пены адиабатный (т.е. без обмена теплотой с окружающей средой) и равновесный (т.е. температура жидкой части пены равна температуре газа в пузырьках).

б) Найти насколько нагреется гетерогенное рабочее тело в процессе сжатия, если начальная температура пены была T0 = 300 K, объем масла VЖ = 1 л, а в конце процесса сжатия кратность пены стала равна k1 = 1. Молярная теплоемкость аргона CV = 12.49 Дж/моль·К, плотность газообразного аргона ρAr = 1.6 кг/м3, удельная теплоемкость трансмиссионного масла cЖ = 2000 Дж/кг·К, плотность масла ρЖ = 900 кг/м3. Поверхностным натяжением пленки масла в пузырьках пренебречь. Газ считать идеальным, а жидкость несжимаемой.


Анализ и решение.

а) Гетерогенное рабочее тело состоит из двух фракций – жидкой и газообразной. Так как жидкость несжимаема, то в процессе сжатия участвует только газ аргон, жидкость же участвует только в тепловом обмене с газом. В результате, процесс, в котором участвует гетерогенное рабочее тело, можно представить следующим образом: совершается работа внешними силами по сжатию пены, эта работа затрачивается на изменение внутренней энергии газа, однако ввиду того, что процесс равновесный, то газ в каждый момент времени будет «успевать» затратить избыточную часть полученной от работы внешних сил энергии на нагрев жидкости, составляющей оболочку пузырьков масла. Обмена теплотой с окружающей средой по условию задачи не происходит. Таким образом, закон сохранения энергии (т.е., фактически, первое начало термодинамики) можно записать для случая равновесного адиабатного сжатия пены следующим образом:



, (1)

где δA – элементарная работа, совершенная над газом в результате сжатия пены; dU – приращение внутренней энергии газа, δQЖ – элементарная теплота, переданная жидкости (трансмиссионное масло) от сжимаемого газа.

Выражение (1) можно трактовать следующим образом: работа внешних сил A, затраченная на сжатие газа, находящегося в пузырях пены, расходуется на приращение внутренней энергии газа и на нагрев жидкости в процессе передачи тепла от газовой фракции сжимаемой пены к жидкости, слагающей главным образом оболочку отдельных пузырьков.

Учитывая, что работа внешних сил над газом равна по величине и обратна по знаку работе, совершаемой самим газом (т.е. δA= -δA), то выражение (1) можно переписать в виде:



(2)

Тогда, из приближения идеального газа:



, (3)

где ν – количество вещества газа аргона.

Тогда:

Здесь CV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме [Дж/моль·К];



сЖ – удельная теплоемкость трансмиссионного масла [Дж/кг·К];

mЖ – масса жидкости (трансмиссионного масла) [кг];

Подстановкой получим:



(4)

Введем обозначение: - безразмерная константа.

Тогда:

Откуда:


(5)

Интегрированием выражения (5) получим уравнение процесса сжатия газа аргона в пузырях пены:



(6)

Уравнение (6) есть уравнение политропного процесса сжатия гетерогенного рабочего тела – пены с постоянной политропы n = 1 + 1/β.

б) Для того, чтобы найти насколько градусов нагреется гетерогенное рабочее тело в процессе сжатия, вычислим константу политропы процесса:

(7)

В выражении (7) неизвестными являются количество вещества аргона v и масса трансмиссионного масла mЖ.



,

,

Тогда: n ≈ 1.00184. Т.е. процесс мало отличается от изотермического, при котором n = 1.

Коэффициент β ≈ 543.

Для нахождения прироста температуры, перепишем выражение (6) в виде:



(8)

Тогда: , откуда:



Т.е. приращение температуры пены в процессе ее сжатия произошло на

ΔT = T1T0 = 1.27 K.

5. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ.

РАСЧЕТ КРУГОВЫХ ПРОЦЕССОВ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
5.1. Основные понятия и формулы.
В задачах по расчету круговых процессов чаще всего требуется определить коэффициент полезного действия η, который для идеального цикла Карно равен:

, (5.1)

где Т1 и Т2 – температуры нагревателя и холодильника, соответственно. Для любого цикла:



(5.2)

где Q1 – тепло, которое рабочее тело получает от нагревателя, Q2 – тепло, которое рабочее тело отдает холодильнику, А – полезная работа цикла.

В задачах решение сводится к нахождению значений Q1 и Q2, для чего обязательно нужно нарисовать график цикла, чаще всего в координатах (pV), сделать правильные обозначения состояний в точках пересечений кривых, определить, на каких участках цикла совершается работа, происходят изменения внутренней энергии, осуществляется подвод или отвод тепла, а далее использовать уравнения каждого происходящего процесса или первое начало термодинамики.

Приращение энтропии S в ходе обратимого процесса:



, (5.3)

где δQ – количество тепла, подведенного (или взятого) к системе при температуре Т.

Статистическое определение энтропии для любого состояния (формула Больцмана):

, (5.4)

где  – статистический вес этого состояния.

Первое начало термодинамики для обратимых процессов:

. (5.5)

Энтропия ν молей идеального газа:



. (5.6)

Энтропия, как и другие термодинамические функции, величина аддитивная, т.е.



, (5.7)

где Si – энтропия i–ой компоненты смеси.

5.2. Примеры решения задач.
Задача 1.

Тепловая машина работает по циклу Карно с нагревателем при Т1 = 400єС и холодильником при Т2 = 20єС. Время осуществления цикла τ = 5 с. Найти мощность двигателя, если известно, что рабочим телом служит 2 кг воздуха и давление в конце изотермического расширения равно давлению в начале адиабатического сжатия.

Дано: Т1 = 400єС = 673 К, Т2 = 20єС = 293 К, τ = 5 с, m = 2 кг.

Определить: N.


Анализ и решение. Цикл в координатах (pV) и необходимые обозначения изображены на Рис. 5.1. Кривые 1-2 и 3-4 – изотермы расширения и сжатия, соответственно, 2-3 и 4-1 – адиабаты. Подвод тепла к рабочему телу происходит на участке 1-2, отвод – на участке 3-4.

Мощность машины:



. (1)

Входящую в (1) работу цикла А можно определить из (5.2):



, (2)

где Q1 – тепло, полученное рабочим телом в ходе изотермического расширения и равное:



, (3)

где М – эффективная молярная масса воздуха. В (3) неизвестным остается отношение , которое можно получить из уравнения адиабаты 1-4:



. (4)

Входящий в (2) к.п.д. цикла Карно, согласно (5.1.),



. (5)

Подставив (2)-(5) в (1), получим:



кВт.

Задача 2.

Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изохоры, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре цикла. Найти к.п.д. цикла, если температура Т в его пределах меняется в η раз.


Рис. 5.2

Анализ и решение. Из изохоры, адиабаты и изотермы в координатах (pV) можно построить два замкнутых цикла (Рис. 5.2 и 5.3), где кривая 1-2 – изотерма, кривая 1-3 – адиабата, кривая 2-3 – изохора. Однако в цикле, представленном на Рис. 5.3. изотермический процесс происходит при температуре, которая ниже температуры в точке 3, что противоречит условиям задачи. Поэтому условиям задачи удовлетворяет цикл, представленный на Рис. 5.2. Обозначим состояния системы в точках 1, 2, 3. Из рисунка видно, что отношение максимальной температуры Т1 к минимальной Т3 . Выясним в каких процессах происходит поглощение и отдача теплоты рабочим телом. Изотермическое расширение сопровождается обычно поглощением тепла Q1 от нагревателя. В ходе изохорного процесса давление рабочего тела понижается при V = const, что возможно, если рабочий газ отдает тепло холодильнику. В адиабатическом процессе δQ = 0. Таким образом, к.п.д. цикла, согласно (5.2):

Рис. 5.3


(1)

С помощью первого начала термодинамики найдем Q1 и Q2. Для изотермического процесса:



, (2)

где ν – число молей идеального газа в рабочем теле.

В изохорном процессе:

. (3)

В (2) неизвестным является отношение V2/V1, которое можно выразить через отношение температур, учтя, что процесс 1-3 – адиабатический, для которого:



или


(4)

Подстановка (2) и (3) в (1) с учетом (4) дает:



.

Задача 3.

Рабочее вещество совершает цикл, в пределах которого абсолютная температура изменяется в n раз, а сам цикл имеет вид, показанный на Рис.5.4 в координатах (T, S). Найти к.п.д. цикла.


Анализ и решение. Точка 1 характеризуется энтропией S1 и температурой Т1, точка 2 – Т1 и S2, точка 3 – Т2 и S2, причем n T1/T2. Необходимо выяснить, в каких процессах происходит поглощение или выделение тепла рабочим телом. Процесс 1-2 происходит с увеличением энтропии при постоянной Т, что возможно, когда к рабочему веществу подводится тепло, так как и . Таким образом, в ходе процесса 1-2 вещество поглощает тепло Q1. Процесс 2-3 изоэнтропический или адиабатический, поэтому δQ = 0. Тогда процесс 3-1 должен происходить с выделением тепла Q2.

Согласно (5.2), к.п.д. цикла .

Теплоты Q1 и Q2 в данном случае можно найти, пользуясь определением энтропии (5.3) .

,

тогда:


.

Геометрический смысл последнего интеграла в том, что это есть заштрихованная площадь на Рис. 5.4, равная сумме площадей треугольника:



и прямоугольника:



.

Таким образом,



,

тогда:


.

Задача 4.

Изобразить в координатах (Tp) совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор.


Анализ и решение. Изотермы в координатах (Tp) (Рис. 5.5) горизонтальные прямые 1 и 2, расположенные на разных уровнях при температурах Т1 и Т2, соответственно. Изохора – кривая, соответствующая V = const. Из уравнения состояния идеального газа уравнение изохоры можно представить как , где V/R = const.

Таким образом, зависимость T = f(p) представляет собой прямую, проходящую через начало координат с тангенсом угла наклона, равным V/R.

Для различных значений V – это прямые 3 и 4. Искомый цикл – abcda.

Задача 5.

Получите выражения для энтропии обратимых процессов ν молей идеального газа как функции = f(T, p) и = f(p, V).


Анализ и решение. Найдем S как функцию Т и р. Энтропия входит в выражение (5.5) первого начала термодинамики для обратимых процессов , откуда:

. (1)

В (1) входят два дифференциала dU и dV, которые нужно выразить через Т и р и их дифференциалы. Из выражения (4.6) для внутренней энергии ν молей идеального газа следует, что:



. (2)

Заменим dV, входящее в (1). Для этого уравнение состояния ν молей идеального газа продифференцируем по p, V и T:



,

откуда:


.

Заменим V через , тогда:



(3)

Подставим (2) и (3) в (1), тогда:



.

Интегрирование этого выражения окончательно дает:



. (4)

Аналогично можно получить:



(5)

Задача 6.

Круговой процесс с идеальным газом состоит из изотермы, адиабаты и двух изобар (Рис. 5.6). Изобразить этот процесс в координатах (T, S).


Анализ и решение. Изотерма в координатах (T, S) (Рис. 5.7) горизонтальная прямая 1 (Т = const). Адиабатический процесс, как известно, процесс изоэнтропический, т.е. S = const. На диаграмме (TS) – это вертикальная прямая 2.

Изобарический процесс происходит при р = const. Воспользуемся выражением (4) для энтропии S = f(Tp), полученным в предыдущей задаче:



.

При р = const это выражение можно представить в виде:



,

где α, β – константы, зависящие от р.

Из полученного соотношения найдем Т:

, (1)

где , .

Из выражения (1) следует, что в изобарном процессе зависимость Т от S экспоненциальна. Эти зависимости для различных р представлены кривыми 3 и 4 на Рис. 5.7. Искомый цикл – abcda.

Задача 7.

Температура в закрытой комнате объемом V = 50 м3 поднялась с Т1 = 17єC до Т2 = 27єC. Определить приращение энтропии воздуха, полагая, что воздух – смесь идеальных газов.

Дано: V = 50 м3, Т1 = 17єC = 290 К, Т2 = 27єC = 300 К, O2:N2 = 1:4.

Определить: S.


Анализ и решение. Воздух является смесью идеальных газов, поэтому энтропию S воздуха в комнате можно записать, согласно (5.7), как:

,

где и – энтропия молекул кислорода и азота в комнате, соответственно. Соотношение (5.6) позволяет записать энтропию i-ой компоненты (i = O2 или N2):



.

Тогда энтропия воздуха:



.

Записывая эти выражения для температур Т1 и Т2, и вычитая одно из другого, получим:



.

Мольная теплоемкость i-го идеального газа равна:



.

Для N2 и O2 величины γi одинаковы и равны γ = 1.4.

Тогда:

.

Общее число молей воздуха в комнате подсчитать достаточно просто: согласно закону Авогадро при нормальных условиях, а в комнате они близки к ним, 1 моль занимает объем Vm = 22,4 л = 22,4‡103 м3. Тогда число молей воздуха в комнате:



и .



Задача 8.

Один моль идеального газа с показателем адиабаты γ совершает политропический процесс, в результате которого температура газа увеличивается в τ раз. Показатель политропы n. Найти приращение энтропии газа в данном процессе.

Дано: γ = 1 моль, T2/T1 = τ, n.

Определить: S.


Решение. Изменение энтропии 1 моля идеального газа при изменении температуры с Т1 до Т2 и объема V1 до V2, согласно (5.6), запишется:

. (1)

Мольная теплоемкость . Неизвестным в (1) остается отношение V2/V1. Однако в ходе политропического процесса , что для данной задачи дает , т.е. .

Подставляя и в (1), получим:

.

Задача 9.

Воду массой m = 1 кг нагрели от Т1 = 10єС до Т2 = 100єС, при которой она вся превратилась в пар. Найти приращение энтропии системы.

Дано: m = 1 кг, Т1 = 10єС = 283 К, Т2 = 100єС = 373 К.

Определить: S.


Решение. Из общего определения энтропии ее изменение:

.

Sнагр – изменение энтропии при нагревании воды от Т1 до Т2,

Sпар – изменение энтропии при парообразовании.

При нагревании воды ее температура меняется непрерывно, поэтому:



,

где , Ср – удельная теплоемкость воды.

Тогда:

.

Изменение энтропии при парообразовании идет при постоянной температуре Т2, поэтому:



,

где q – скрытая теплота парообразования.

Тогда:

.

Задача 10.

2,5 моля идеального газа с γ = 1.4 расширили так, что его объем изменился от V1 = 10 л до V2 = 20 л, а давление упало с р1 = 1атм до р2 = 0,3 атм. Во сколько раз изменится статистический вес системы?

Дано: ν = 2,5 моля, γ = 1.4, V1 = 102 м3, V2 = 2‡102 м3, р1 = 1 атм, р2 = 0,3 атм.

Определить: .


Решение: Как известно, статистический вес системы связан с ее энтропией формулой Больцмана (5.4):

,

откуда следует, что изменение энтропии S есть:



. (1)

Но изменение энтропии при изменении объема и давления записывается (см. (5) в задаче 5):



.

Подставляя это выражение в (1), получим:



. (2)

Остается выразить имеющиеся в этой формуле теплоемкости через данное в условии задачи γ:



и

.

Подстановка этих значений в (2) дает:

или


,

т.е. статистический вес системы сильно уменьшается.


6. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА.
6.1. Основные понятия и формулы.
Поведение реальных газов описывается уравнением состояния Ван-дер-Ваальса: для одного моля:

, (6.1)

для ν молей газа:



, (6.2)

где ab – константы, зависящие от природы газа, которые приводятся в справочниках и приложениях к сборникам задач.

Внутренняя энергия ν молей реального газа:

. (6.3)

Критические параметры вещества удовлетворительно описываются уравнением Ван-дер-Ваальса и выражаются через его параметры a и b:



Pкр = a/27b2, Vкр. = 3b, Tкр. = 8a/27bR (6.4)

Эффект Джоуля-Томпсона описывается соотношением:



H1 = H2, (6.5)

где H1 и H2 – энтальпия газа до и после его расширения, соответственно.

Задачи на эту тему можно разделить на следующие группы:

а) задачи, которые учат работать с уравнением Ван-дер-Ваальса и позволяют получить ряд полезных соотношений;

б) задачи по описанию критического состояния вещества;

в) задачи на эффект Джоуля-Томпсона.

6.2. Примеры решения задач.
Задача 1.

Один моль кислорода расширили до объема V1 = 1 л до V2 = 5 л при постоянной температуре T = 280 K. Вычислить количество поглощенного газом тепла, газ считать ван-дер-ваальсовым.

Дано: V1 = 1 л = 10-3 м3, V2 =5 л =5 10-3 м3, T = 280 К.

Определить: Q.


Решение. Для ответа на вопрос задачи запишем первое начало, в которое входит искомая величина Q. Элементарное тепло . Тогда поглощенное газом тепло в ходе конечных превращений:

(1)

Согласно (6.3), внутренняя энергия реального газа:



или


,

а давление p из (6.1):



.

Подставим полученные выражения в (1), тогда:



.

Первый интеграл равен нулю, так как процесс идет при постоянной T. Из второго и третьего интегралов получим:



.

Задача 2.

Найти для газа Ван-дер-Ваальса уравнение адиабаты в переменных (TV), если известна его теплоемкость при постоянном объеме CV.


Решение. Для решения задач подобного рода в качестве исходного соотношения используется первое начало в дифференциальной форме .

В адиабатическом процессе δQ = 0, поэтому:



. (1)

По условию задачи необходимо найти уравнение процесса в координатах (TV), поэтому выразим dU и p через эти переменные. Как следует из предыдущей задачи:



и

.

Подставляя эти выражения в (1), получим:

.

Разделим переменные в этом выражении и проинтегрируем:



,

,

тогда:


.

После потенцирования получим:




Задача 3.

Определить для газа Ван-дер-Ваальса разность и показать, что в критическом состоянии () стремится к бесконечности.


Анализ и решение. Общее выражение (4.2), связывающее две теплоемкости:

. (1)

Согласно (6.3),



,

тогда:


. (2)

Затруднения вызывает расчет . Если выразить V из (6.1) через p и T, то придется решать кубическое уравнение относительно V, что не является рациональным решением. Поэтому воспользуемся математическим соотношением:



.

Из (6.1) , и взятие частной производной не представляет особого труда:



. (3)

Подставим (2) и (3) в (1) для 1 моля газа:



.

Стоящее в числителе выражение , тогда:



.

Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся условием, определяющим критическое состояние вещества . Соотношение (1) также справедливо для этого состояния. Проанализируем его. Выражение, стоящее в квадратных скобках отлично от 0 и и, согласно (6.1), . Значит к бесконечности может стремиться только второй сомножитель . Для его оценки воспользуемся соотношением, полученным в курсе математического анализа. Если три независимых переменных (xyz) связаны соотношением f(xyz)=0, то для их частных производных справедливо выражение:



(4)

Интересующие нас переменные (pVT) связаны между собой уравнением состояния Ван-дер-Ваальса, поэтому, согласно (4),



,

откуда:


.

Однако в критической точке , тогда , поэтому и, следовательно, , что справедливо и для 1 моля газа, т.е. .



ч. 1 ч. 2 ч. 3 ч. 4 ч. 5