Маклаков А. И., Серебренникова Т. А., Савинков А. В

ч. 1 ч. 2 ... ч. 4 ч. 5
Маклаков А. И., Серебренникова Т. А., Савинков А. В.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ.


МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.

Казань, 2012 г.



ВВЕДЕНИЕ
В курсе общей физики решению задач должно уделяться большое внимание. Процесс решения задач помогает активно усваивать теоретический материал, развивает физическое мышление и умение решать некоторые физические проблемы, поэтому в ряде вузов на чтение лекций и решение задач выделяется одинаковое количество часов.

Решение задач по физике - творческий процесс. Фактически это первая самостоятельная научная работа студента. Она включает знакомство с условиями задачи, анализ и сам процесс решения задачи, который, как любое творчество, всегда загадочен. Он может длиться секунда, минуты, а иногда и несколько суток.

При решении задач рекомендуется руководствоваться следующими правилами:

1. Вникнуть в суть задачи, понять, что в ней требуется, сделать нужный рисунок или график, кратко записать условия задачи, провести анализ и наметить путь решения.

2. Решение задачи начинать, как правило, с "конца": записать соотношение, в которое входит искомая физическая величина, посмотреть, какие величины, входящие в это соотношение, неизвестны, записать формулы, в которых эти неизвестные имеются и т.д.

3. Решать задачу в общем виде с получением конечного результата в виде некоторой формулы, если это возможно, поскольку промежуточные расчеты только удлиняют процесс решения и приводят к дополнительным ошибкам.

4. Проверить равенство размерностей правой и левой частей конечной формулы, что подтверждает правильность решения задачи.

5. Подставить в полученное выражение численные значения заданных физических величин, выраженные в единой системе единиц (например, в СИ или СГС) и провести окончательный расчет.

6. Записать результат с точностью, не превышающей точность физических величин, заданных в условии задачи.

7. Оценить реальность полученной величины (если масса молекулы составляет несколько килограмм, а ее скорость больше скорости света, то решение задачи требует серьезной проверки).

Последовательность действий при решении задач представлена в виде блок-схемы.
Блок-схема предложенной методики решения задач.
Осмысление и краткая запись условий задачи, ее анализ

Решение задачи, получение конечного результата в виде формулы

Проверка равенства размернос-тей правой и левой частей конечной формулы

Проведение математи-ческих расчетов в единой системе единиц и получение результата в виде числа

Оценка реальности результата

При решении задач следует обязательно ознакомиться с содержанием используемого сборника задач, посмотреть на имеющиеся в нем физические и математические формулы, таблицы основных физических постоянных, размерности физических величин, таблицы значений основных физических характеристик веществ и т.д.

В пособии использованы задачи из различных сборников задач:

1. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. – М.: Наука, 1988. 416 с.

2. Савельев И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1988. 288 с.

3. Рейф Ф. Статистическая физика. – М.: Наука, 1972. 350 с.

4. Бабаджан Е. И., Гервидс В. И. и др. Сборник вопросов и задач по общей физике. – М.: Наука, 1990. 398 с.

и др.
В пособии рассмотрены задачи по следующим разделам молекулярной физики:



  1. Статистический метод, биномиальное распределение и средние значения.

  2. Распределения Максвелла и Больцмана.

  3. Законы идеального газа.

  4. Первое начало термодинамики.

  5. Второе начало термодинамики, расчеты круговых процессов и термодинамических функций.

  6. Реальные газы Ван-дер-Ваальса.

  7. Процессы столкновений в газах.

  8. Процессы переноса.

  9. Фазовые равновесия и переходы первого.

  10. Поверхностное натяжение в жидкостях, растворы.

1. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД.

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ.
1.1. Основные понятия и формулы.
Статистический метод базируется на понятии вероятности случайного процесса и средних значениях величин.

Вероятность Р(r) осуществления дискретного случая r определяется с помощью статистического ансамбля из N систем. Если случай r осуществляется в Nr системах ансамбля, то:



. (1.1)

Если случайная величина х изменяется непрерывно, то элементарная вероятность dP(x) встретить величину, лежащую в пределах от х до х + dх:



, (1.2)

где ρ(х) – плотность вероятности для величины х.

Если имеем N статистически независимых опытов, и вероятность появления данного исхода опыта равна р, а вероятность его непоявления q = 1  p, то вероятность появления n исходов при N испытаниях (биномиальное распределение):

. (1.3)

Одним из предельных случаев биномиального распределения является распределение Гаусса:



(1.4)

Оно справедливо, если N   и флюктуации n малы, т.е. , где  - среднее значение n.

Среднее значение функции f(Ur) случайной величины Ur, меняющейся дискретно:

, (1.5)

где pr - вероятность появления Ur.

Если случайная величина х меняется непрерывно, то среднее значение функции f(x):

(1.6)

Дисперсия случайной величины x:



, (1.7)

где  - среднее значение случайной величины x.

Особое внимание следует обращать на нахождение средних значений функций случайных величин (формулы (1.5) и (1.6)).

1.2. Примеры решения задач.


Задача 1. (проблема случайных блуждений).

Человек начинает свое движение от фонаря в узкой улочке, делая шаги длиной l. Вероятность того, что он сделает шаг вправо, равна p, влево – q = 1  p. Человек настолько пьян, что, делая данный шаг, он совершенно не помнит о направлении предыдущего. Всего он сделал N шагов. Какова вероятность того, что смешение человека от фонаря вправо равно ml, где - целое число.


Анализ и решение. Каждый шаг пьяного человека является независимым событием. Всего он совершает N таких дискретных событий, для описания которых можно воспользоваться биномиальным распределением (1.3). Чтобы человек оказался на расстоянии ml справа от фонаря, ему нужно сделать влево k, а вправо (k + m) шагов, причем k + (k + m) N, отсюда число шагов влево k = (N  m)/2, а число шагов вправо k + m = (N + m)/2.

Искомая вероятность:



.

Величины, стоящие справа и слева, безразмерны.



Задача 2.

В Казани 10 февраля родились 1000 младенцев. Найти вероятность того, что родились: а) 400 девочек; б) 500 девочек.


Анализ и решение. Рождение каждого младенца случайное и независимое событие. Из общих соображений следует, что вероятность рождения девочки или мальчика одинакова, как утверждает медицина. Обозначим эти вероятности через p и q, причем p = q = 1/2. Всего произошло N независимых событий. Для вычисления искомой вероятности воспользуемся биномиальным распределением (1.3).

а) .

Однако считать такие числа достаточно сложно, поэтому воспользуемся предельным случаем, когда N - большое, а p  q, т.е. гауссовым распределением (1.4).

;

.

Из полученного результата видно, что вероятность такого события мала, т.е. событие практически невероятное.

б) .

На первый взгляд кажется, что результат неправдоподобен, ибо такое событие должно свершаться с вероятностью, равной приблизительно Ѕ. Однако нужно учесть, что наряду с конкретным событием рождения 500 девочек и 500 мальчиков примерно с такой же вероятностью достаточно много будет происходить событий рождения 499 девочек и 501 мальчика, 499 мальчиков и 501 девочки, 498 девочек и 502 мальчика, 498 мальчиков и 502 девочек и т.д., т.е. приблизительно по 500. При этом сумма вероятностей всех этих событий должна равняться единице, поэтому вероятность конкретного события рождения 500 девочек и 500 мальчиков оказывается малой.



Задача 3.

Рассмотрим ядро со спином, равным Ѕ. Из квантовой механики известно, что магнитный момент μ с вероятностью p может быть направлен по магнитному полю и с вероятностью q - против него. В первом случае магнитный момент μ принимает значение равное μ0, во втором  –μ0. Найти, чему равны и.



Решение. Задача на нахождение среднего значения случайной величины, меняющейся дискретно (формула (1.5)) и принимающей два значения. Для этого случая среднее значение магнитного момента:

,

но p + q = 1 – по условию нормировки вероятностей, тогда:



.

Среднеквадратичное значение момента:



.

Задача 4.

Идеальный газ из N молекул находится в равновесии в сосуде объемом V. В части сосуда объемом V1 находится n молекул (Рис.1.1). Чему равно среднее число молекул в объеме V1 и его дисперсия σ2 ?


Анализ и решение. Появление n молекул из N в объеме V1 - случайное событие, вероятность которого описывается формулой (1.4). Для нахождения среднего значения воспользуемся соотношением (1.5):

(В таких соотношениях под знаком суммы обязательно стоит усредняемая величина и вероятность ее появления). Так как PN(n) – биномиальное распределение (1.3), то:



. (1)

В этом соотношении неизвестны p и q. Из общих геометрических соображений вероятность того, что какая-то молекула попадет в объем V1, если общий объем V, равна p = V1/V.

Из условия нормировки элементарных вероятностей p + q = 1, где q – вероятность того, что эта молекула в объеме V1 отсутствует, тогда q = 1  (V1/V). Сумму (1) подсчитать прямым способом достаточно сложно, поэтому воспользуемся искусственным математическим приемом. Возьмем формулу бинома Ньютона:

,

возьмем производную по p от обеих частей этого равенства:



,

домножим обе части на p, тогда:



(2)

Правая часть (2) равна , а левая Np, следовательно:



.

Для нахождения дисперсии воспользуемся ее определением , преобразуем это выражение:



.

Т.е. дисперсия равна разности среднеквадратичного значения случайной величины и квадрата ее среднего значения.

Найдем , используя соотношение (1.5):

.

Для подсчета суммы воспользуемся тем же искусственным приемом: возьмем производную по p от обеих частей (2):



.

Умножая обе части этого выражения на p и учитывая, что p + q = 1, получим:



или


.

Окончательно дисперсия записывается:



.

Задача 5.

На дно круглой чашки с плоским дном равномерно в один слой насыпали мелкие стеклянные шарики. Радиус чашки R. Определить: а) вероятность и плотность вероятности обнаружения шарика внутри кольца радиусами r и r + dr, б) среднее и среднеквадратичное расстояние от шарика до центра дна чашки.


Анализ и решение. Из геометрических соображений (Рис.1.2) следует, что искомая вероятность мала , где dS1 – площадь кольца с радиусами r и r + dr, S – площадь дна чашки.

Так как dr << r, то площадь кольца с достаточно хорошим приближением можно представить как произведение длины окружности радиуса r на ширину кольца dr, т.е. dS1 = 2πr · dr.

Площадь дна чашки S0 = πR2. Искомая вероятность:


и плотность вероятности, согласно (1.2):

.
Для нахождения и используем (1.6):

и

.

Откуда среднеквадратичное расстояние .

Размерности левой и правой частей в конечном выражении одинаковы.


Задача 6.

Найти функцию распределения угла между двумя полупрямыми на плоскости, одна из которых закреплена, а у другой все ориентации на плоскости равновероятны.


Анализ и решение. Понятие равновероятности всех направлений на плоскости определяется следующим образом. Пусть полупрямая каждый раз выходит из некоторой точки. Проведем из этой точки на плоскости окружность произвольного радиуса (Рис. 1.3). Все направления полупрямой равновероятны, если вероятность, что полупрямая пройдет через любой отрезок дуги проведенной окружности, пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения.

Пусть радиус окружности равен 1. Вероятность того, что рассматриваемый угол будет заключен в промежутке [α, α + dα], пропорциональна соответствующему дифференциалу дуги, который равен dα. Следовательно,



Постоянная с находится из условия нормировки. Если угол отсчитывается в определенном направлении, то он может принимать значения в промежутке [0, 2π].

Следовательно,



,

и .



Задача 7.

Найти функцию распределения угла между закрепленной полупрямой и полупрямой, все направления которой в пространстве равновероятны.


Анализ и решение.

Понятие равновероятности всех направлений полупрямой в пространстве определяется следующим образом. Пусть полупрямая каждый раз выходит из некоторой точки. Проведем из этой токи сферу единичного радиуса. Будем говорить, что все направления полупрямой равновероятны, если вероятность того, что полупрямая пройдет через любую область сферы, пропорциональна площади поверхности этой области и не зависит от ее формы.

Полупрямую с фиксированным направлением также проведем из центра сферы. Пусть это будет вертикальная полуось (Рис. 1.4). Рассматриваемая случайная величина – угол между двумя полупрямыми – может принимать значения из промежутка [0, π]. Вероятность того, что она примет значение из промежутка [α, α + dα], равна вероятности попадания подвижной полупрямой в заштрихованное на Рис. 1.4 кольцо. Но эта вероятность пропорциональна площади кольца:

Коэффициент с, определяемый из условия нормировки, получается равным 1/4π, поэтому окончательно:

,

а плотность вероятности .



Задача 8 (Задача Бюффона).

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2l (l < a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.




Анализ и решение.

Введем следующие обозначения: x – расстояние от середины иглы до ближайшей параллели, φ – угол, составленный иглой с этой параллелью (Рис. 1.5а).

Положение иглы полностью определяется заданием определенных значений x и φ, причем x принимает значения от 0 до a; возможные значения φ изменяются от 0 до π. Другими словами, середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами a и π (Рис. 1.5б). Таким образом, этот прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют собой все возможные положения середины иглы. Очевидно, площадь фигуры G равна πa.

Найдем теперь фигуру g, каждая точка которой благоприятствует интересующему нас событию, т.е. каждая точка этой фигуры может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель. Как видно из Рис. 1.5а, игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии , т.е. если середина иглы попадает в любую из точек фигуры, заштрихованной на Рис. 1.5б.

Таким образом, заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдем площадь этой фигуры:

Искомая вероятность того, что игла пересечет прямую:
.
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА.
2.1. Основные понятия и формулы.
В этом разделе нужно обратить внимание на нахождение средних значений различных физических величин при известном виде вероятностей или плотностей вероятностей и умение пользоваться этими функциями. Задачи по нахождению средних скоростей требуют знания различных видов функций распределения (плотностей вероятностей) скоростей молекул Максвелла.

Доля молекул dN с массой m, компонента скорости которых лежит в пределах от vx до vx + dvx:



(2.1)

Плотность вероятности этого события (или функция распределения компоненты скорости vx):



(2.2)

N – общее число молекул в системе. Аналогичные формулы можно записать для компонент скоростей vy и vz.

Доля молекул dN, скорость которых лежит в пределах от v до v + dv, вне зависимости от направления скорости:



, (2.3)

а соответствующая плотность вероятности:



. (2.4)

Наиболее вероятная vв, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:



, , . (2.5)

Распределение молекул в силовом поле с потенциальной энергией U задается распределением Больцмана:



, (2.6)

где dN – доля молекул с энергией U в объеме dv = dxdydz.

Соответствующая плотность вероятности:

, (2.7)

где В – постоянная, характерная для каждого случая.

Формула Больцмана:

, (2.8)

n и n0 – число молекул в единице объема, где потенциальная энергия равна U и 0, соответственно.

2.2. Примеры решения задач.


Задача 1.

Один литр кислорода находится при нормальных условиях (Т = 273 К, p = 101.3 кПа). Найти число молекул, скорость которых заключена в интервале от 500 м/c до 500,2 м/c.

Дано: V = 1 л (О2) = 10-3 м3; Т = 273 К, p = 101300 Па, v = 500 м/c, dv = 0,2 м/c.

Определить: dN.


Анализ и решение. Небольшой разброс скоростей молекул 0,2 м/с по сравнению с 500 м/с, позволяет принять его за малую величину dv. Тогда на основании (2.3) число молекул dN, скорость которых лежит в пределах от v до v + dv:

,

где m и N – неизвестны, m M · а.е.м. (М – относительная молекулярная масса).

Для нахождения общего числа N молекул в объеме используем закон Авогадро: при нормальных условиях 1 моль газа занимает объем Vм = 22,4 л. Тогда N = Na · V/Vм и окончательно:

.

Задача 2.

Показать, что отношение между числом молекул, имеющих скорость меньше наиболее вероятной vв, и числом всех молекул не зависит от Т.


Решение. Согласно (2.3) доля молекул dN, имеющих скорость, лежащую в пределах от v до v + dv:

,

где N – число всех молекул в системе. Тогда отношение между числом молекул Nв и числом всех молекул:



(1)

Введем безразмерную величину x = v/vв и преобразуем выражение, стоящее справа. Согласно (2.5) vв = (2kT/m)1/2, тогда , .

Подставляя эти выражения в (1), получим:

.

Справа имеем определенный интеграл, независящий от температуры, что и требовалось показать.



Задача 3.

Найти вероятность того, что при 300 К молекулы азота имеют компоненты скорости вдоль осей xyz, соответственно, в интервале 300 ± 0,3, 400 ± 0,4 и 500 ± 0,5 м/с.



Решение. Согласно (2.1) доля молекул dNx из N, скорость которых лежит в пределах от vx до vx + dvx:

.

Вероятность этого события dPx = dNx/N. Аналогичные соотношения для вероятностей того, что молекулы обладают компонентами скорости vy и vz, лежащей в интервале (vyvy + dvy) и (vzvz + dvz dPy = dNy/N и dPz = dNz/N, соответственно.

Вследствие независимости движения молекул вдоль различных осей x, y, z, вероятность того, что молекулы обладают компонентами скорости, лежащей в интервале (vivi + dvi), где = x, y, z, равна dP = dPx · dPy · dPz или

. (1)

Тогда искомая вероятность δP:



,

Так как интервал изменения компонент скорости vi(i = xyz) мал, для подсчета интегралов можно воспользоваться теоремой о среднем значении, согласно которой:



,

где = 300м/c, = 400 м/c, = 500 м/c,



= 0,6 м/c, = 0,8 м/c = 1 м/c.

Подстановка этих значений дает:



δР ≈ 7·10-11.

Задача 4.

Определить долю молекул, компоненты скорости которых вдоль оси x находятся в интервале (vxvx + dvx), а модули перпендикулярной составляющей скорости – в интервале (, ).


Анализ и решение. Для нахождения искомой доли молекул воспользуемся соотношением (1) предыдущей задачи:

.

Выделим в нем нужную вероятность того, что молекулы обладают компонентами скорости вдоль оси х, лежащей в интервале (vxvx + dvx):



. (1)

Для определения вероятности того, что молекулы обладают компонентами скорости, перпендикулярной vx, лежащей в интервале (), рассмотрим вектор скорости в прямоугольной системе координат (Рис.2.1). Проекцию на плоскость (vy 0 vz) обозначим через . Проведя в этой плоскости две окружности с центром в начале координат радиусами ( и ), получим кольцо. Второму условию задачи будут удовлетворять молекулы, у которых конец перпендикулярной составляющей вектора скорости, лежит в этом кольце. Компоненты скорости vy, vz и их приращения dvy и dvz выразим через и . Для этого перейдем в полярную систему координат (). Из Рис. 2.1 следует, что , , . Произведение представляет собой элемент площади в прямоугольной системе координат, который в полярной системе координат равен ,  – угол между и осью 0vy.

Подставляя эти выражения в (1), получим:

.

Чтобы учесть все молекулы, концы векторов которых лежат во всем кольце, проинтегрируем полученное выражение по в пределах от 0 до 2π. Тогда:




Задача 5.

Вычислить среднюю проекцию скорости молекул с массой m при температуре Т.


Решение. Для вычисления среднего значения воспользуемся формулами (1.6) и (2.2).

.

В общем случае может принимать любые значения в интервале от –∞ до +∞, однако может принимать только положительные значения, т.е. в интервале от нуля до +∞, где vx. Тогда:



.

Замена приводит к табличному интегралу, что дает в результате .



Задача 6.

Для молекул массой m при температуре Т найти функцию их распределения по кинетическим энергиям и наивероятное значение кинетической энергии . Соответствует ли наивероятной скорости vв?


Решение. Для нахожденияиспользуем выражение (2.3):

.

Перейдем от распределения молекул по скоростям к распределению их по энергиям с учетом того, что кинетическая энергия молекулы . Дифференцируя это выражение, получим . Так как , то . Тогда:



.

.

Наивероятнейшей кинетической энергии εв соответствует максимум функции ρ(ε), поэтому необходимо взять производную от ρ(ε) по ε и приравнять ее нулю, т.е , тогда получим εв=kT/2.

Кинетическая энергия с наивероятнейшей скоростью по (2.5):

, т.е. ε' ≠ εв.

Задача 7. (опыт Перрена).

При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута было обнаружено, что среднее число их в слоях, отстоящих на = 40 мкм, отличается друг от друга в η = 2 раза. Температура среды Т = 290 К. Диаметр частиц d = 0,4 мкм и их плотность на ρ = 0,2 г/см3 больше плотности окружающей жидкости. Как по этим данным Перрен нашел число Авогадро Nа?

Дано: = 40 мкм = 4·10-5 м, , Т = 290 К, d = 0,4 мкм = 4·10-7 м, ρ ρ  ρ0 = 0,2 г/см3 = 200 кг/м3.

Определить:


Анализ и решение. Частицы, находящиеся в поле сил тяжести, подчиняются распределению Больцмана (2.8). Отношение плотностей частиц на двух уровнях h1 и h2, где потенциальные энергии U1 и U2, соответственно, согласно (2.8):

.

Умножая числитель и знаменатель на Na , получим:



(1)

где R = kNa – газовая постоянная, а U1 и U2 неизвестны. Для их нахождения используем связь между силой F, действующей на частицу и ее потенциальной энергией U.



или . Проинтегрируем обе части равенства с учетом того, что при изменении h от h1 до h2U изменяется от U1 до U2, полагая, при этом F = const.

или .

Но на частицу массой m и объемом V, находящуюся в жидкости во взвешенном состоянии и подчиняющуюся распределению Больцмана, действует еще сила, определяемая разницей между силой тяжести и силой Архимеда (g – ускорение свободного падения).



.

Объем частицы . Тогда и .

Подставляя (U1 – U2) в (1), получим:

,

или


,

откуда:


моль-1.

ч. 1 ч. 2 ... ч. 4 ч. 5