Газовые законы. Решение задач с использованием диаграмм состояния

ч. 1
Тема: Газовые законы. Решение задач с использованием диаграмм состояния
Практическое занятие 4 (4 часа)
Цель: Разобрать алгоритм решения задач с использованием диаграмм состояния.
Метод решения задач с использованием диаграмм состояния успешно зарекомендовал себя при изучении тем «Газовые законы», «Термодинамика», «Тепловые двигатели».

Примеры решения задач

1. При нагревании газа получена зависимость, показанная на рисунке. Определите, сжимался газ или расширялся? [Масса газа постоянна.



Решение

Нужно провести из начала координат прямые (пунктир на чертеже), проходящие через состояния 1 и 2.

Эти прямые соответствуют процессам при постоянных объемах V1 и V2.

Поскольку V2 > V1, газ расширялся.




2. Как менялась температура идеального газа (увеличивалась или уменьшалась) в процессе, график которого в координатах p, V изображен на рисунке?


Решение
Проведем гиперболы, касательные к кривой. Так как гипербола в координатах p, V является графиком изотермы: pV = nRT = const, то T1 < T2. Следовательно, от состояния 1 до состояния 2 температура газа повышалась, а от состояния 2 до состояния 1 – понижалась.

3. Получены две экспериментальные зависимости (см. рисунок). В каком случае масса газа больше? Давление в первом и во втором случае одинаково.



Решение




Так как V1 > V2, то m1 > m2.


4. Над идеальным газом производят два замкнутых процесса: 1–2–3–1 и 3–2–4–3. В каком из них газ совершает бо1льшую работу?


Решение

Изобразим изменение состояния газа на p–V-диаграмме. Очевидно, что А2 > А1.




5. Моль идеального одноатомного газа переводится из начального состояния 1 в конечное состояние 4 в ходе процесса 1–2–3–4. определите подведенное к газу количество теплоты, если разность начальной и конечной температур DT = 100 К. Считать R = 8,3 Дж/(моль • К).


Решение

Из р–Т-диаграммы видно, что T2 – T1 = T4 – T3 = DТ.



Воспользуемся формулой Q = DU + A ':



– тепло подводится;

– тепло отводится, T уменьшается;

– тепло подводится.


6. Моль одноатомного газа совершает замкнутый цикл, состоящий из трех процессов: адиабатического расширения, изотермического сжатия и изохорного нагревания. Какая работа была совершена газом в адиабатическом процессе, если при изохорном нагревании подвели Q = 10 кДж тепла? R = 8,3 Дж/(К • моль).

Решение

Q12 = 0 Ю  = –DU12 .

T2 = T3 Ю – DU31 = DU12.

V1 = V3 Ю Q31 = DU31 = 10 кДж, т.к. A'31 = 0.

Таким образом, A '12 = –DU12 = DU31 = Q31 = 10 кДж.

7. Один моль одноатомного идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависимостью давления от объема, изобары и изохоры. Найдите количество теплоты, подведенное к газу на участках цикла, где его температура растет. Температура газа в состояниях 1 и 2 равна 300 К. Отношение объемов на изобаре  

Направление обхода цикла указано стрелками. R = 8,3 Дж/(моль • К).
Решение


б) На участке 1–2 p = a – bV, т.е.:

p1 = a – bV1; p2 = a – bV2.

Решая систему, находим:

Таким образом,

Умножив обе части на V, получим:

На участке 1–4 температура растет!

в)

Qподвед = Q31 + Q14 = 1245 Дж + 726,25 Дж d 1970 Дж.



8. Состояние одного моля идеального одноатомного газа меняется, как представлено на диаграмме p, T, причем p ~ T на участке 1–2 и на участке 2–3. Найдите теплоемкости газа на участках 1–2 и 2–3.


Решение

а) На участке 1–2

б) На участке 2–3 таким образом, V ~ p. Работа газа в этом случае:

9. КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермы 1–2, изохоры 2–3 и адиабаты 3–1, равен h. Разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна DT.

Найдите работу, совершенную n молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.
Решение

Q12 – количество теплоты, полученное от нагревателя; Q23 – количество теплоты, отданное холодильнику; Q31 = 0, т.к. 3–1 – адиабата.

Итак:

(адиабата);

  (изотерма).

Поэтому




Задачи для самостоятельного решения
1. Поршень в цилиндре с воздухом прилегает к стенкам цилиндра неплотно, поэтому медленно пропускает воздух. Снятая во время нагревания при постоянном давлении зависимость объема от температуры изображена на рисунке. Увеличивалась или уменьшалась масса воздуха в цилиндре? (Ответ. Масса газа в состоянии 1 больше, чем в состоянии 2.)
2. На рисунке показан циклический процесс, проведенный над некоторой массой [идеального. – Ред.] газа. Изобразите этот процесс в координатах p, T и V, T (1–2 и 4–5 – изотермы).


3. На p–T-диаграмме изображен замкнутый процесс, который совершает некоторая масса кислорода. Известно, что максимальный объем, который занимал газ в этом процессе, Vмакс = 16,6 дм3. Определите массу газа и его объем в точке 1. Значения T1, T2, p1 и p2 указаны на рисунке.

(Ответ. V1 = 12,4 дм3; m = 16 г.)

 

4. Найдите работу, совершаемую молем идеального газа в цикле, состоящем из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры. Точки 1 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат. Температуры в точках 2 и 3 одинаковы. Считать заданными температуры T1 и T2 в точках 1 и 2. (Ответ  )



5. В тепловом процессе моль [одноатомного. – Ред.] идеального газа переводят из начального состояния в конечное, как показано на рисунке. Какое количество теплоты подведено к газу, если разность начальной и конечной температур DT = 100 °C? (Ответ. 415 Дж.)
6. Моль идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2: в первом случае – адиабатически, а во втором – сначала по изобаре 1–3, а затем по изохоре 3–2.

Минимальная температура Tмин = 300 К. Количество теплоты, подведенное к газу в процессе 1–3–2, равно 2,6 кДж. Чему равна работа газа в адиабатическом процессе?

(Ответ. А12 = – 12 560 Дж.)

7. Один моль идеального газа изменяет свое состояние согласно представленному циклу. 1–4 и 2–3 – изохоры, 3–4 – изобара, 1–2 – прямая. Температуры в состояниях 1, 2, 3, 4 равны соответственно T1, T2, T3, T4. Какую работу совершает газ за один цикл?

(Ответ. .)

8. В каждом из процессов, изображенных на диаграмме, температура изменяется на одну и ту же величину. В каком из этих процессов газ получает наибольшее количество теплоты? (Ответ. в изобарном процессе.)


9. Состояние [моля идеального. – Ред.] газа меняется, как представлено на диаграмме p, V, причем p ~ V2 на участке 1–2. Найдите теплоемкость газа в этом процессе. (Ответ. .)

[Авторский ответ ошибочен. – Ред.]
10. Найдите КПД тепловых машин, работающих по циклам 1–2–3–1 и 1–3–4–1, если КПД машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1, равен h. В качестве рабочего тела во всех слу-

чаях используется [один и тот же. – Ред.] идеальный газ.



(Ответ: )




ч. 1